Propuesta sobre la enseñanza de la demostración de implicaciones

 

Geovany Sanabria B.

   
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Tercer método: Reducción al absurdo

Este método suele ser confundido con el método de contradicción. Cuando se realiza una prueba utilizando reducción al absurdo se suele seguir el siguiente modelo

 

   

La gran diferencia con el método de contradicción es que en este método se utiliza la hipótesis y la negación de la contradicción para llegar a un absurdo. $ \medskip\medskip $

Ejemplo 3   Sea $ B$ un conjunto de números reales que cumple las siguientes proposiciones (axiomas):
$\displaystyle Axioma$ $\displaystyle 1)\quad 3$ $\displaystyle \in$ $\displaystyle B$  
$\displaystyle Axioma$ $\displaystyle 2)\quad x$ $\displaystyle \in$ $\displaystyle B\wedge y\in B\Longrightarrow xy\in B$  
$\displaystyle Axioma$ $\displaystyle 3)\quad 6$ $\displaystyle \notin$ $\displaystyle B$  

Pruebe las siguientes proposiciones.$ \newline
$

 

Teorema $ 1.$ Se cumple que: $ \dfrac{5}{2}\in B\Longrightarrow
\dfrac{4}{5}\notin B.\medskip\newline
$

Teorema $ 2.$ Si $ \dfrac{1}{x}\in B$ entonces $ \sqrt{2}x\notin
B.\medskip $

Prueba.
Utilizaremos el método de reducción al absurdo para demostrarlos.

 

   

   

Finalmente, observemos un ejemplo de un estructura donde se combinan los métodos vistos para demostrar los teoremas.

Ejemplo 4   Considere las siguientes proposiciones:

Definición 1.
 
Una palabra es invertible, si es permitida y la palabra que se obtiene al invertir el orden de sus letras es permitida$ .$

 

Definición 2.
 
Se dice que $ X$ es una palabra permitida, o simplemente que es permitida, si $ X$ es una sucesión de letras tomadas de $ \left\{ G,R,E\right\} $ que es permitida.

 

Axioma 1.
 
$ GRE$ es permitida

 

Axioma 2.
Si una palabra con dos $ E$ seguidas es permitida entonces la palabra que se obtiene al eliminar las dos $ E$ seguidas es permitida.

 

Axioma 3.
Una palabra con una $ R$ es permitida si y solo si la palabra que se obtiene al cambiar la $ R$ por $ RE$ es permitida.

 

Axioma 4.
Si $ X$ y $ Y$ son permitidas entonces la palabra $ XY$ es permitida.

 

Axioma 5.
$ GRG$ no es permitida. $ \medskip\medskip\newline
$Pruebe los siguientes proposiciones.

 

Teorema $ 1.$
Se tiene que $ GR$ es permitida.

 

Teorema $ 2.$
Si $ GERE$ es invertible $ \Longrightarrow $ $ GERRGGR$ es permitida.

 

Teorema $ 3.$
Teorema $ 3.$ Si $ EGGE$ no es invertible $ \Longrightarrow
$ $ EGE$ no es permitida.

 

Teorema $ 4.$
Teorema $ 4.$ Si $ GE$ es permitida $ \Longrightarrow $ $ GRE
$ no es invertible.$ \medskip $

Ejemplo 5.   Prueba.

 

1.
Note que el Teorema $ 1$ no es una implicación, sin embargo se puede considerar que es una implicación donde las hipótesis son los 5 axiomas y la conclusión es: $ GR$ es permitida.

 

   

2.
El Teorema 2 se demostrará utilizando el método directo.