Walter Mora FGeovanni Figueroa M.

 

Incrementos y diferenciales

 

Para funciones de una variable $\,y = f(x)\,$, se define el incremento de $\,y\,$ como

\begin{displaymath}\Delta y \, = \, f(x + \Delta x) - f(x) \end{displaymath}

y la diferencial de $\,y\,$ como

\begin{displaymath}dy\,=\,f'(x)dx\end{displaymath}

$\,\Delta y\,$ representa el cambio en la altura de la curva $\,y\,=\,f(x)\,$ y $\,dy\,$ representa la variación en $\,y\,$ a lo largo de la recta tangente cuando $\,x\,$ varía en una cantidad $\,dx\,=\,
\Delta x\,$.

En la siguiente figura se muestra $\,df\, \, \mbox{y} \, \, \Delta f\,$.

Figura 1: diferencial
 


Observe que $\,\Delta y - dy\,$ se aproxima a cero más rápidamente que $\,\Delta x\,$, ya que

$\,\displaystyle{\epsilon\,= \, \frac{\Delta y - dy}{\Delta x}\, = \,
\frac{f(x ...
...x)\Delta x}{\Delta x}\, = \, \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} - f'(x)}\,$

y al hacer $\,\Delta x \longrightarrow 0\,$, tenemos que $\,\epsilon \longrightarrow 0\,$.

Por tanto

\begin{displaymath}\Delta y \, = \, dy + \epsilon\, \Delta x\end{displaymath}


donde $\,\epsilon \longrightarrow 0\,$ conforme $\,\Delta x \longrightarrow 0\,$.

 


Ahora consideremos una función de dos variables $\,z\, = \, f(x, y)\,$.

Si $\,x\,$ y $\,y\,$ son incrementados $\,\Delta x\,$ y $\,\Delta y\,$, entonces el correspondiente incremento de $\,z\,$ es

\begin{displaymath}\Delta z\, = \, f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y)\end{displaymath}


Con lo cual $\,\Delta z\,$ representa el cambio en el valor de $\,f\,$ cuando $\,(x,
y)\,$ cambia a $\,(x + \Delta x, \; y + \Delta y)\,$.

 

   Definición  

 

Sean $\,f :\,D \subset \mathbb{R}^{2}\, \longrightarrow \mathbb{R}\,$una función escalar y $\,\Delta x\,$ y $\,\Delta y\,$ incrementos de $\,x\,$ y de $\,y\,$, entonces la diferencial total de la variable dependiente $\,z\,$ es

\begin{displaymath}dz\, = \, f_{x}(x, y)\Delta x + f_{y}(x, y)\Delta y\end{displaymath}
 


Ejemplo 1  

Calcule la diferencial total para la función

\begin{displaymath}f(x, y)\, = \, \sqrt{2x^{3} + y^{2}}\end{displaymath}


Las derivadas parciales están dadas por

\begin{displaymath}\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}\, = \, \frac{3x^{2}}{\sqrt{2x^{3} +
y^{2}}}}\end{displaymath}


\begin{displaymath}\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}\, = \, \frac{y}{\sqrt{2x^{3} + y^{2}}}}\end{displaymath}

de donde


\begin{displaymath}\displaystyle{dz\, = \, \frac{\partial f(x,
y)}{\partial x}\...
... +
y^{2}}}\Delta x + \frac{y}{\sqrt{2x^{3} +
y^{2}}}\Delta y}\end{displaymath}

   Teorema (aproximación lineal)

 

Sea $\,f : \mathbb{R}^{2}\longrightarrow\mathbb{R}\,$ una función escalar continua en $\,D\,$. Suponga que $\,\Delta x\,$ y $\,\Delta y\,$ son incrementos de $\,x\,$ y de $\,y\,$, lo suficientemente pequeños para que $\,(x_{0} + \Delta x,
y_{0} + \Delta y)\, \in \, D\,$, entonces si las derivadas parciales $\,f_{x}\,$ y $\,f_{y}\,$ son continuas en $\,(x_{0}, y_{0})\,$ el incremento de la variable dependiente $\,z\,$

\begin{displaymath}\Delta z\, = \, f(x_{0} + \Delta x, y_{0} + \Delta y) - f(x_{0}, y_{0})\end{displaymath}

puede escribirse como

\begin{displaymath}\Delta z\, = \, f_{x}(x_{0}, y_{0})\Delta x + \,
f_{y}(x_{0}, y_{0})\Delta y + \epsilon_{1}\Delta x + \epsilon_{2}\Delta y\end{displaymath}

donde

$\,\epsilon_{1}\, \longrightarrow 0\,$ cuando $\,\Delta x \, \longrightarrow 0\,$

$\,\epsilon_{2}\, \longrightarrow 0\,$ cuando $\,\Delta y \, \longrightarrow 0\,$

 



Los incrementos $\,\Delta x\,$ y $\,\Delta y\,$ se les llama diferenciales de las variables independientes y se denotan por $\,dx\,$ y $\,dy\,$.

Observación: Este teorema afirma que el cambio real en $\,z\,$ es aproximadamente igual a la diferencial total $\,dz\,$, cuando los incrementos $\,\Delta x\,$ y $\,\Delta y\,$ son pequeños, es decir, $\,\Delta z\, \cong\, dz\,$.


Ejemplo 2  

El radio de la base y la altura de un cono circular recto miden $\,10 cm\,$ y $\, 25 cm\,$, respectivamente, con un posible error en la medición de $\,0.1
cm\,$, cuando mucho. Utilice diferenciales para estimar el error máximo en el volumen del cono.

Solución
 
El volumen de un cono es $\,V = \pi r^{2}h\,$, con lo cual la diferencial total es

\begin{displaymath}dV\, = \, \displaystyle{\frac{\partial V}{\partial r}\,dr + \...
...rtial h}\,dh = \frac{2\pi rh}{3}\,dr + \frac{\pi r^{2}}{3}\,dh}\end{displaymath}

Puesto que los errores son, cuando mucho, del orden de $\,0.1
cm\,$, tenemos que $\,\vert \Delta x \vert\leq 0.1\,$ y $\,\vert \Delta y \vert
\leq 0.1\,$. Para estimar el máximo error en el volumen, tomanos el máximo error en las medidas de $\,r\,$ y $\,h\,$. Por tanto, $\,dr = 0.1\,$ y $\,dh = 0.1\,$, junto con $\,r = 10, \, h = 25\,$

\begin{displaymath}dV\, = \, \displaystyle{\frac{500}{3}\, 0.1 + \frac{100\pi}{3}\, 0.1} = 20\pi\end{displaymath}


De esta forma el máximo error en el volumen es de aproximadamente $\,20\pi cm\, \cong 63 cm\,$.

Para que una función mtfde varias variables seaderivableen un punto $\,(a,
b)\,$no basta con que las derivadas parciales existan, esto nos dice que la derivabilidad de una función de varias variables es más compleja que la de una variable.

 

   Definición  (diferenciabilidad)

 

Dada una función escalar $\,f :
D \subset R^{2}\longrightarrow R\,$ continua en $\,D\,$ con derivadas parciales $\,f_{x}\,$y$\,f_{y}\,$ son continuas en $\,(x_{0}, y_{0})\, \in \, D\,$, si $\,\Delta z\,$ puede expresarse como

\begin{displaymath}\Delta z\, = \,
f_{x}(x_{0}, y_{0})\Delta x +
f_{y}(x_{0}, y_{0})\Delta y + \epsilon_{1}\Delta x + \epsilon_{2}\Delta y\end{displaymath}

donde

$\,\epsilon_{1}\, \longrightarrow\, 0\,$ cuando $\,\
\Delta x \longrightarrow\, 0\,$
$\,\epsilon_{2}\, \longrightarrow\, 0\,$ cuando $\,\
\Delta y \longrightarrow\, 0\,$

decimos que$\,f\,$ es diferenciable en $\,(x_{0}, y_{0})\,$.

 



Observación: Es decir, que una función $\,f\,$es diferenciable en $\,(x_{0}, y_{0})\,$ si la diferencial total $\,dz\,$es una buena aproximación al incremento total $\,\Delta z\,$. En otras palabras, la función lineal


\begin{displaymath}z\, = \,
f(x_{0}, y_{0}) + f_{x}(x_{0}, y_{0})(x - x_{0}) +
f_{y}(x_{0}, y_{0})(y - y_{0})\end{displaymath}

es una buena aproximación de la función $\,f\,$cerca de $\,(x_{0}, y_{0})\,$. Por consiguiente, por el teorema de aproximación lineal, si$\,f_{x}\,$ y $\,f_{y}\,$ existen cerca de $\,(x_{0}, y_{0})\,$ y son continuas en este punto, entonces $\,f\,$es diferenciable en este punto.

Ejemplo 3  

Use diferenciales para calcular un valor aproximado para


\begin{displaymath}\sqrt{3(1.95)^{3} + (5.1)^{2}}\end{displaymath}

Solución



Consideremos la función $\,f(x,y)\, = \, \sqrt{3(x)^{3} +
(y)^{2}}\,$ y observe que podemos calcular con facilidad $\,f(2, 5)
= 7\,$. Por lo tanto, tomando$\,x_{0} = 2\,$ y $\,y_{0} = 5, \, \,d
x = \Delta x = -0.05\,$ y $\,d y = \Delta y = 0.1\,$, obtenemos


\begin{displaymath}\begin{array}{rcl}
\sqrt{3(1.95)^{3} + (5.1)^{2}} & = & f(1.9...
...e{\frac{5}{7}} (0.1) \\
& & \\
& = &6.98571 \\
\end{array}\end{displaymath}


La diferencial de$\,f\,$fue calculada en el ejemplo 1.


Al igual que para funciones de una variable la diferenciabilidada  implica continuidad, como vemos en el siguiente teorema.



 

   Definición  (diferenciabilidad y continuidad)

 

Sea $\,f :D\subset \mathbb{R}^{2}\longrightarrow \mathbb{R}\,$ una función de escalar diferenciable en $\,(a, b)\in D\,$, entonces $\,f\,$ es continua en $\,(a,
b)\,$.



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