Walter Mora FGeovanni Figueroa M.


Proyecciones sobre los planos coordenados

 

Más adelante, cuando queramos calcular integrales dobles, triples o de superficie, será necesario proyectar ortogonalmente un una superficie sobre alguno de los planos coordenados. Básicamente, las proyecciones son transformaciones lineales que asignan a cada punto $P = (x, y,z)$ sobre el sólido $S$ (o sobre la superficies $S$) un punto $Q$ , que corresponde a su proyección ortogonal sobre  el plano sobre el cual estamos  proyectando.

En los ejemplos que siguen, se pueden proyectar las superficies arrastrando con el mouse los puntos rojos. Esto se puede hacer en las ligas del tipo  "[Ver en  3D-LG]"
 

EJEMPLO 1
 

Dibuje la proyección sobre cada uno de los plano coordenados $xy, xz, yz$ de la superficies $S$ (un cuadrado) :
 

\begin{displaymath}S = \{(x,y,z) \in I\hspace{-0.1cm}R\; \vert \; 1 \leq x \leq 2,\; 1 \leq y \leq 2,\; 1 \leq z \leq 2, \; x=y \}\end{displaymath}
 

Solución
 

En este caso la superficie es rectangular y las proyecciones resultan sencillas como se muestra en la figura 1.

 

Figura 1.

[Ver en  3D-LG] [Ver en  3D - Jview]


 

EJEMPLO 2
 

Proyectar sobre cada uno de los planos coordenados, el sólido $Q$ limitado por las superficies  

\begin{displaymath}z=1-x^2, \; \; \; ,x+y =1 , \; \; \; x =y=z = 0 \end{displaymath}

 

Figura 2.

[Ver proyecciones en  3D - Jview]

 

Solución

La proyección sobre el plano $XZ$ se muestra en la figura

 

Figura 3.

[Ver en  3D-LG]

 

Figura 4.

La ecuación de la curva   $C_1$ corresponde a $z= 1-x^2$ con $x\in [0,1]$


 

La proyección sobre el plano $YZ$ se muestra en la figura.

 

Figura 5.

[Ver en  3D-LG]

 

Figura 6.

 

Para hallar la ecuación de la curva $C_1$ observe que:


\begin{displaymath}
z = 1-x^2\; \; \bigcap \; \; x+y=1 \; \; \Longrightarrow \; \;
z = 1-(1-y)^2 \end{displaymath}

de donde


\begin{displaymath}C_1 = \left\{\begin{array}{rcl}
x & = & 0 \\
y & = & t\\
z & = &1-(1-t)^2 \\
\end{array}\right.\end{displaymath}

$ \; \; \mbox{donde} \; \; t\in [0,1]$

 

 

La proyección sobre el plano $XY$ se muestra en la figura

 

Figura 7.

[Ver en  3D-LG]

 

 

Figura 8.

 

La ecuación de la curva $C_1$  corresponde a $y=1-x$ con $x\in [0,1]$


 

EJEMPLO 3

Dibujar las proyecciones del sólido, limitado por las superficies


\begin{displaymath}x^2+z^2=4, \; \; \; ,x+y =5 , \; \; \; z=2, \; \; \;y=z = 0 \end{displaymath}
 
 
Figura 9.
 

Solución

La proyección sobre el plano $YZ$ se muestra en la figura.

 

Figura 10.

 


Para hallar la ecuación de la curva $C_1$ observe que:


\begin{displaymath}
x^2+y^2=4\; \; \bigcap \; \; x+y=5 \; \; \Longrightarrow \; \;
z = \sqrt{4-(5-y)^2} \end{displaymath}

de donde


\begin{displaymath}C_1 = \left\{\begin{array}{rcl}
x & = & 0 \\
y & = & t\\
z & = &\sqrt{4-(5-t)^2} \\
\end{array}\right.\end{displaymath}

$ \; \; \mbox{donde} \; \; t\in [3,5]$

La proyección sobre el plano $XZ$ se muestra en la figura

 

 

Figura 11.

 


La ecuación de la curva $C_2$ corresponde a $x^2+y^2=4$ con $x\in [0,2]$

La proyección sobre el plano se muestra en la figura


 

Figura 12.


La ecuación de la curva $C_3$ corresponde a $y=5-x$ con $x\in [0,5]$

EJEMPLO 5
 

Dibujar las proyecciones del sólido del ejemplo 1, limitado por las superficies
 

\begin{displaymath}y + z=1, \; \; \; ,y = \sqrt{x} , \; \; \; x = z = 0 \end{displaymath}
 
 

Solución
 

La proyección sobre el plano $XY$ se muestra en la figura
 

Figura 14.

 

Para hallar la ecuación de la curva $C_1$ observe que:
 

\begin{displaymath}
y = \sqrt{x}\; \; \bigcap \; \; z = 0 \; \; \Longrightarrow
...
... & t \\
y & = & \sqrt{t}\\
z & = & 0\\
\end{array}\right.\end{displaymath}

$ \; \; \mbox{donde} \; \; t\in [0,1]$
 

La proyección sobre el plano $XZ$ se muestra en la figura


 


 

Figura 15.

[Ver en 3D - LG3D

 

Para hallar la ecuación de la curva $C_2$ observe que:

\begin{displaymath}y + Z = 1 \; \; \bigcap \; \; y = \sqrt{x} \; \;
\Longrightarrow \; \; z = 1 - y = 1 - \sqrt{x} \; \;
\end{displaymath}
 

de donde
 

\begin{displaymath}C_2 = \left\{ \begin{array}{rcl}
x & = & t \\
y & = & 0\\
z & = & 1-\sqrt{t}\\
\end{array} \right.
\end{displaymath}

$\; \; \mbox{con} \; \; t \in [0,1]$
 

La proyección sobre el plano $YZ$ se muestra en la figura 5.

 

Figura 16.
 

Para hallar la ecuación de la curva $C_3$ observe que:
 

\begin{displaymath}y + z = 1\; \; \bigcap \; \; x = 0 \; \; \Longrightarrow \;
\;z =1 - x
\end{displaymath}

de donde

\begin{displaymath}C_2 = \left\{\begin{array}{rcl}
x & = & 0 \\
y & = & t \\
z & = & 1-t \\
\end{array} \right.
\end{displaymath}
 

$\; \; \mbox{con} \; \; t \in [0,1]$
 

 

EJEMPLO 6
 

Dibuje las proyecciones sobre cada uno de los planos coordenados para el sólido del ejemplo 3, limitado por las superficies:

\begin{displaymath}z = x^2 + y^2 +1 ,\; \; x + y = 2 ,\; \; x = y = z = 0 \end{displaymath}
 
 

Solución

La proyección sobre el plano $XZ$ se muestra en la figura

 

Figura 18.
 

FIGURA 7

Para hallar la ecuación de la curva $C_1$, observe que:

\begin{displaymath}z = x^2 + y^2 +1\; \; \bigcap \; \; y = 0 \; \; \Longrightarrow
\; \;z = x ^2 + 1
\end{displaymath}

de donde

\begin{displaymath}C_2 = \left\{\begin{array}{rcl}
x & = & t \\
y & = & 0\\
z & = & t^2 + 1\\
\end{array} \right.
\end{displaymath}

$\; \; \mbox{con} \; \; t\in [0,2]$

Para hallar la curva $C_2$, observe que:

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
z = x^2 + y^2 +1\; \; \bigcap \; \; x + ...
...; \; & z = x ^ 2 + (2 - x)^2 + 1 = 2x^2 - 4x+ 5 \\
\end{array}\end{displaymath}
 

con lo cual las ecuaciones paramétricas de la curva $C_2$ son:

 

\begin{displaymath}C_2 = \left\{\begin{array}{rcl}
 

$ \; \; \mbox{donde t} \; \; \in [0,2]$
 

La proyección sobre el plano $XY$ se muestra en la figura
 

Figura 19.
 

Para hallar la curva $C_3$ observe que:

\begin{displaymath}x + y = 2\; \; \bigcap \; \; z = 0 \; \; \Longrightarrow \;
\;y = 2 - x \end{displaymath}

con lo que
 

\begin{displaymath}C_3=\left\{\begin{array}{rcl}

$\; \; \mbox{con} \; \; t\in [0,2]$
 

La proyección sobre el plano $YZ$ es similar a la proyección sobre el plano $XZ$, por tanto, dejamos que lector sean quien la haga.
 

EJEMPLO 7
 

Dibuje las proyecciones sobre cada uno de los planos coordenados para el sólido  limitado por las superficies:

\begin{displaymath}z = 4 - x^2 ,\; \; \; \; 4y + 3z = 20 ,\; \; \; \; x - y - z = 0 ,\; \; \; \; x = y = z =
0 \end{displaymath}
 
Figura 20.

Solución
 

La proyección sobre el plano $XY$ se muestra en la figura
 

Figura 21.


 

Para hallar la curva $C_1$ observe que:

 

de donde

\begin{displaymath}C_1=\left\{\begin{array}{rcl}
x & = & t \\
y & = & t^2 + t - 4\\
z & = & 0\\
\end{array} \right.
\end{displaymath}
 

$\; \; \mbox{donde} \; \; t \in \left[\frac{\sqrt{17}-1}{2},2\right] $
 

Para hallar la curva $C_2$ observe que:

\begin{displaymath}

de donde

 

$ \; \; \mbox{donde} \; \; t \in [0,2]$
 

La proyección sobre el plano $YZ$ se muestra en la figura
 

Figura 22.


 

Para hallar la ecuación de la curva $C_3$ observe que
 

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
z = 4 - x^2\; \; \bigcap \; \; x - y - z...
...ngrightarrow \; \; & z^2 + 2yz+ y^2 + z - 4 = 0 \\
\end{array}\end{displaymath}
 

y como $\triangle = B^2 -4AC=4-4=0$, la curva es una parábola con rotación. Podemos resolver la ecuación para $z$:
 

\begin{displaymath}z = \frac{-1 -2y \pm \sqrt{17 + 4y}}{2} \end{displaymath}
 

Observación: en la proyección de la figura  la curva $C_3$, que corresponde a $z^2 + 2yz + y^2 + z - 4 = 0$, no parece una parábola debido a que para $0 \leq y \leq 2$, la curva casi es recta.

 

La proyección sobre el plano $XZ$ es más simple y se muestra en la figura
 

Figura 23.


 

La curva $C_4$ está dada por:

\begin{displaymath}C_4=\left\{\begin{array}{rcl}
x & = & t \\
y & = & 0\\
z & = & 4 - t^2\\
\end{array} \right.
\end{displaymath}
 

$ \; \; \mbox{donde} \; \; t \in [0,2]$
 

Y la curva $C_5$ está dada por:

\begin{displaymath}C_5=\left\{\begin{array}{rcl}
x & = & t \\
y & = & 0\\
z & = & t\\
\end{array} \right.\end{displaymath}
 

$\; \; \mbox{donde} \; \; t \in \left[ 0,\; \frac{\sqrt{17} - 1}{2}
\right]$
 


 


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