Walter Mora FGeovanni Figueroa M.


Sólidos


Un sólido es una superficie cerrada. La mayoría de las veces es la intersección de varias superficies, pero podría constar de una única superficie, por ejemplo, una esfera. Los siguientes ejemplos muestran como dibujar sólidos


Ejemplo 1

Dibuje el sólido limitado por los planos $y + z = 1,\; x = z = 0$ y el cilindro $y = {\sqrt{x}}$

Solución

Para dibujar el plano $y + z =
1$ dibujamos su traza sobre el plano $yz$ y la desplazamos a lo largo del eje $x$. Para dibujar el cilindro  $y = {\sqrt{x}}$ , dibujamos su traza sobre el plano $xy$ y la desplazamos a lo largo del eje $z$. Los otros planos son los coordenados. El sólido, con diferentes vistas,  se muestra en la figura 1.

Figura 1.

[Ver en  3D-LG] [Ver en  3D - Jview]

Para dibujarlo, primero dibujamos la superficie generada por la curva  $y = {\sqrt{x}}$

 

Figura 2.

Luego dibujamos el plano $y + z =
1$ y la intersección de este plano con la superficie generada por $y = {\sqrt{x}}$

 

Figura 3.

[Ver en ambiente 3D]

Con lo que finalmente obtenemos el sólido

 

Figura 4.


Para algunas aplicaciones es importante conocer las ecuaciones de las curvas que forman los bordes del sólido.

Por ejemplo, la ecuación de la curva $C_1$ se obtiene como el resultado de la intersección del cilindro $y = \sqrt{x} $ y el plano $z =
0$, por tanto su ecuación esta dada por :

 

\begin{displaymath}z = 0 \;\cap \; y = {\sqrt{x}} \; \Rightarrow \;
C_1=\left\{\...
...
\\
z=0 \\
\end{array}\right. \; \mbox{ con }\; t \in [0,1]\end{displaymath}

 

La curva $C_2$ es la intersección del cilindro $y = \sqrt{x} $ y el plano $y + z = y$ su ecuación es :

\begin{displaymath}y = {\sqrt{x}}\; \cap \; y + z =1
\; \Rightarrow\; z =
1 - ...
...1-\sqrt{t} \\
\end{array}\right. \; \mbox{ con }\; t \in [0,1]\end{displaymath}

 

La curva $C_3$ es la intersección del planos$y + z =
1$ y $x =
0$ y su ecuación es :

 


\begin{displaymath}y + z = 1\cap x = 0\,\; \Rightarrow\; \,z = 1 - y \; \Rightar...
...
z=1-t \\
\end{array}\right. \; \mbox{ con }\; t \in [0,1]
\end{displaymath}
 

Ejemplo 2

Dibuje el sólido limitado por los planos $y+z=1, \; x=1, \; y=z=0$ y el cilindro $y = {\sqrt{x}}$

Solución 

Este sólido es similar al sólido del ejemplo 1, solo que ahora ya no se incluye el plano x = 0  sino el plano x = 1.

Para dibujar el plano $y + z =
1$ dibujamos su traza sobre el plano $yz$ y la desplazamos a lo largo del eje $x$. Para dibujar el cilindro $y = {\sqrt{x}}$,  dibujamos su traza sobre el plano $xy$ y la desplazamos a lo largo del eje $z$. Y luego dibujamos el resto de planos. El sólido, con diferentes vistas si usa la liga a ambiente 3D,  se muestra en la figura 4.

 

Figura 4.

[Ver en 3D-LG] [Ver en 3D-Jview]

 

Primero, como en el ejemplo 1,  dibujamos el plano $y + z =
1$ y la intersección de este plano con la superficie generada por $y = {\sqrt{x}}$ y luego el plano x = 1. En la liga al ambiente 3D, se muestran las superficies y su intersección.

 

Figura 5.

[Ver en ambiente 3D]

 

 

 

Ejemplo 3

Dibuje el sólido limitado por los planos $2y + z = 8, \; y = x, \;
x = z = 0$ y el cilindro $z = 4 - x^2$

Solución

Veamos primero, el proceso de dibujo. Primero la superficie generada por la parábola y  los planos.

 


Figura 6.

Luego otra vista

 

Figura 7.

 

Luego, el sólido limpio

Figura 8.

[Ver en 3D-LG] [Ver en 3D-Jview]


La ecuación de la curva $C_1$ se obtiene de la intersección del cilindro$z = 4 - x^2$ y el plano $y = x$ :

 

\begin{displaymath}z = 4 - x^2 \; \cap\; \; \Rightarrow\; y = x\,
\; \Rightarrow...
...
z=4-t^2 \\
\end{array} \right. \; \mbox{ con }\; t \in [0,2]\end{displaymath}
 

 

La curva $C_2$ se obtiene de la intersección del cilindro $z = 4 - x^2$ y el plano $2y + z = 8$ :

 

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcl}
z = 4 - x^2 \; \cap\; 2\,y + z =
8 & \R...
...end{array} \right. \; \mbox{ con }\; t \in [2,4]\\
\end{array}\end{displaymath}

 

 

Ejemplo 3

Dibuje el sólido limitado por el paraboloide $z = x^2 + y^2 + 1$ y los planos $x + y = 2$ y $x = y = z = 0$

Solución

Observe que los planos coordenados $x = y = z = 0$ son fundamentales al momento de dibujar el sólido, pues, sino podemos obtener un sólido no adecuado. La gráfica del sólido se muestra en las figuras  que siguen.

 

 

Figura 9.

Figura 10.

 

 

Figura 11.

[Ver en 3D-LG] [Ver en 3D-Jview]

 

Figura 12.

 

La curva $C_1$es la intersección de paraboloide $z = x^2 + y^2 + 1$ y el plano$x + y = 2$.

\begin{displaymath}z = x^2 + y^2 + 1\cap x + y =
2\,\Rightarrow\,y =
2 - x\,\R...
...\,z =
x^2 + {\left( 2 - x \right) }^2 + 1 =
2\,x^2 - 4\,x + 5\end{displaymath}
 

 

con lo cual su ecuación está dada por:

 

 

\begin{displaymath}
C_1= \left\{\begin{array}{l}
x=t \\
\\
y=2-t \\
\\
...
... + 5 \\
\end{array} \right. \; \mbox{ con }\; t \in [0,2]\\
\end{displaymath}

 

La curva$C_2$es la intersección del paraboloide $z = x^2 + y^2 + 1$y el plano $y = 0$

 

 

\begin{displaymath}
z = x^2 + y^2 + 1 \;\cap\; x =
0\; \Rightarrow \; z = y^2 ...
... + 1 \\
\end{array} \right. \; \mbox{ con }\; t \in [0,2]\\
\end{displaymath}

 

La ecuación de la curva$C_3$se obtiene de forma análoga a la de$C_2$.

Ejemplo 4

Dibuje el sólido limitado por las siguientes superficies $z = 4 -
x^2, \; 4y + 3z = 20, \; x - y - z = 0, \;
x = y = z = 0$

Solución

Básicamente son las superficies que hemos estado dibujando.El plano $2x - y -
z = 4$pasa por el origen por lo que nos conviene dibujar las trazas sobre los planos $xy$y $xz$.El proceso de construir el sólido se muestra en las figuras que siguen.

 

 

Figura 13.

 

Figura 14.

 

Figura 15.

[Ver 3D-LG] [Ver 3D-Jview]

 


Ejemplo 5

Dibuje el sólido limitado por las siguientes superficies superficies: $x + z = 2. \; y + z = 4,\; z = \sqrt{x},\; x = y = 0$

Solución

Para dibujar el plano $x + z =
2$ dibujamos su traza sobre el plano $xz$ y la desplazamos en dirección del eje $y$. Para trazar el plano$y + z =
4$ dibujamos su traza sobre el plano $yz$ y la desplazamos en dirección del eje $x$. Para dibujar la superficie cilíndrica dibujamos su traza sobre el plano $xz$ y la desplazamos a lo largo del eje $y$.El proceso de construir el sólido se muestra en las figuras que siguen.

 

Figura 16.

 

Figura 17.

 

Figura 18.

[Ver en 3D - LG] [Ver 3D-Jview]

 

Para hallar la ecuación de la curva $C_1$, observe que se obtiene como resultado de la intersección de los planos $x + z =
2$ y $y + z =
4$.

\begin{displaymath}x + z = 2\cap y + z =
4\,\Rightarrow\,z =
2 - x = 4 - y\,\Rightarrow\,y = 2 + x\end{displaymath}
 

con lo cual la ecuación de la curva es

 

\begin{displaymath}
C_1= \left\{\begin{array}{l}
x=t \\
\\
y= 2+t \\
\\
z= 2-t \\
\end{array} \right. \;\\
\end{displaymath}
 

 

La ecuación de la curva $C_2$se obtiene como resultado de la intersección de las superficies $z = \sqrt{x}\;$ y $\; y + z = 4$.

 

\begin{displaymath}
y + z = 4 \,\cap \, z =
{\sqrt{x}}\,\Rightarrow \,y =
4\,...
... 4-\sqrt{t} \\
\\
z= \sqrt{t} \\
\end{array} \right. \\
\end{displaymath}

 

Para hallar las coordenadas del punto $P$, observe que se obtiene como la intersección de las superficies $x + z =
2$, $y + z =
4$ y $z = \sqrt{x}$.

Como

\begin{displaymath}x + z = 2 \land z =
{\sqrt{x}}\,\Rightarrow\,x + {\sqrt{x}} =
2\,\Rightarrow\,x =
1\,\Rightarrow\,z = 1 \end{displaymath}
 

de donde

\begin{displaymath}y + z = 4 \land z = 1\,\Rightarrow\,y = 3 \end{displaymath}
 

Por tanto, $P = (1, 1, 3)$.

  


Revista digital Matemática, Educación e Internet.