Walter Mora FGeovanni Figueroa M.


Superficies cuadráticas


Las secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola tienen su generalización al espacio tridimensional en elipsoide, paraboloide e hiperboloide.

 

   Definición  (superficies cuadráticas)

La gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables

\begin{displaymath}A\,x^2 + B\,y^2 + C\,z^2 + D\,x + E\,y + F\,z +
G = 0\end{displaymath}

se conocen como superficies cuadráticas, salvo casos degenerados.

 


 

Observación: en la ecuación de segundo grado $A\,x^2 +
B\,y^2 + C\,z^2 + D\,x + E\,y + F\,z +
G = 0$ deliberadamente no hemos incluido los términos mixtos $xy$, $xz$ y $yz$, pues la presencia de estos genera superficies con rotación, tema que no trataremos en el curso

$\bullet \;$ Elipsoide

La gráfica de la ecuación:

\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} +
\frac{z^2}{c^2} = 1\end{displaymath}

corresponde a un elipsoide. Es simétrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene intersección con los ejes coordenados en $(\pm a, 0,
0$), $(0, \pm b,
0)$ y $ (0,
0, \pm c)$ .La traza del elipsoide sobre cada uno de los planos coordenados es un único punto (! ) o una elipse. La figura 1 muestra su gráfica.


Figura 1. Elipsoide

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$\bullet \;$ Paraboloide elíptico

La gráfica de la ecuación

\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z}{c}\end{displaymath}

es un paraboloide elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales $z =
k$ son elipse :

\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{k}{c}\end{displaymath}

Sus trazas sobre planos verticales, ya sean $x = k\;$ o $ ;y = k$ son parábola.

Figura 2. Paraboloide elíptico

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$\bullet \;$ Paraboloide hiperbólico

La gráfica de la ecuación:


\begin{displaymath}\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = \frac{z}{c}\end{displaymath}

es un paraboloide hiperbólico. Sus trazas sobre planos horizontales$z =
k$ son hipérbolas o dos rectas  ($z =
0$). Sus trazas sobre planos verticales paralelos al plano $xz$ son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las trazas sobre planos verticales paralelos al plano $yz$ son parábolas que abren hacia arriba. Su gráfica tiene la forma de una silla de montar, como se observa en la figura 3.

Figura 3. Paraboloide  hiperbólico

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$\bullet \;$ Cono elíptico

La gráfica de la ecuación:

\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =
\frac{z^2}{c^2}\end{displaymath}

es un cono elíptico.Sus trazas sobre planos horizontales $z\;
=
k\;$ son elipses.Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hipérbolas o un par de rectas.Su gráfica se muestra en la figura 4.

 

Figura 4. Cono elíptico

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$\bullet \;$ Hiperboloide de una hoja

La gráfica de la ecuación:

\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} -
\frac{z^2}{c^2} = 1\end{displaymath}

es un hiperboloide de una hoja.Sus trazas sobre planos horizontales $z =
k$son elipses


\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =
1 + \frac{k^2}{c^2}\end{displaymath}

Sus trazas sobre planos verticales son hipérbolas o un par de rectas que se intersecan (!). Su gráfica se muestra en la figura 5.

.

Figura 5. Hiperboloide de una hoja

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$\bullet \;$ Hiperboloide de dos hojas

La gráfica de la ecuación:

\begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} -
\frac{z^2}{c^2} = 1\end{displaymath}

es un hiperboloide de dos hojas.Su gráfica consta de dos hojas separadas.Sus trazas sobre planos horizontales $\;z =
k\;$ son elipses y sobre planos verticales son hipérbolas (figura 6).


Figura 6. Hiperboloide de dos hojas

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Ejemplo 1

Identifique cada una de las siguiente superficies cuadráticas:

a.) $4\,x^2 - y^2 + 2\,z^2 + 4 = 0$

b.) $x^2 + 2\,z^2 - 6\,x - y + 10 = 0$


Solución

a.) Dividiendo por 4 la primera ecuación obtenemos:


\begin{displaymath}-x^2 + \frac{y^2}{4} - \frac{z^2}{2} = 1\end{displaymath}

lo cual corresponde a un hiperboloide de dos hoja, con el eje $y$ como eje de simetría.

b.) Completando el cuadrado en $\,x\,$ para la segunda superficie obtenemos :


\begin{displaymath}y - 1 = {\left( x - 3 \right) }^2 + 2\,z^2\end{displaymath}

que corresponde a un paraboloide elíptico con eje paralelo al eje $\,y$.



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