Walter Mora F


 Curvas y superficies cilíndricas

 

Planos

Veamos primero algunos planos que nos van a ser útiles un poco más adelante.

$\bullet \;$ El plano (horizontal) $xy$, donde $z = 0$;

[ Ver en ambiente 3D ]

$\bullet \;$ El plano (vertical) $yz$, donde $x = 0$;

 

 

[ Ver en ambiente 3D ]

$\bullet \;$ El plano (vertical) $xz$, donde $y = 0$.

[ Ver en ambiente 3D ]



Curvas en el espacio

Vamos a considerar curvas en el espacio tridimensional, pero definidas sobre uno de los planos $XY$, $XZ$ o $YZ$ y con ecuaciones del tipo:

  1. en el plano $XY$, $y=y(x)$ o $x=x(y)$ o definidas de manera implícita por $\;F(x,y) = 0$

  2. en el plano $XZ$, $z=z(x)$ o $x=x(z)$ o definidas de manera implícita por $\;F(x,z) = 0$

  3. en el plano $YZ$, $z=z(y)$ o $y=y(z)$ o definidas de manera implícita por $\;F(y,z) = 0$

Consideremos los siguientes ejemplos

 

1.  La recta $\;x+y=1$


Figura 7.

[Ver en ambiente 3D]


2. La hipérbola     

 

Figura 8.

[Ver en ambiente 3D]


3. La parábola  $\;z=4 - \frac{x^2}{4}$

Figura 9.

[Ver en ambiente 3D]


4. La Elipse $\displaystyle{\frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(z+1)^2}{9}=1} $

 

Figura 10.

[Ver en ambiente 3D]

 

 

5. La parábola $\;(z-1)^2=-2(y-1)$

 

Figura 11.

[Ver en ambiente 3D]

 

Curvas sobre los planos $x=a$, $y=b$, o $z=c$  

 

Una curva  sobre un plano $x=a$, $y=b$, o $z=c$ , se describe dando la ecuación de la curva y el plano sobre la cual se encuentra. Eventualmente, estas curvas correspoden a a una traza.

 

Ejemplos 8.

Dibujar las siguientes curvas:

 

Parábola $\;{\left( y - 3 \right) }^2 = z + 1$ sobre el plano  $ x=2$

Elipse $\displaystyle{\frac{{\left( x - 2 \right) }^2}{4} +
\frac{{\left( y - 4 \right) }^2}{16} = 1}$ sobre el plano  $ z=3$

Hipérbola $\displaystyle{\frac{{\left( x - 3 \right) }^2}{4}
- {\left( z - 2 \right) }^2 = 1}$ sobre el plano $ y=3$

Solución

Para dibujar cada una de las curvas, primero trasladamos los ejes. 

$\bullet \;$ Parábola: trasladamos los ejes YZ hasta  $ x=2$ y dibujamos sobre estos ejes.

 

Figura 14.

[Ver en ambiente 3D]


$\bullet \;$ Elipse: trasladamos los ejes X e Y hasta $ z=3$ y dibujamos sobre estos ejes.

 

Figura 15.

[Ver en ambiente 3D]


$\bullet \;$ Hipérbola:  trasladamos los ejes X y Z hasta $ y=3$ y dibujamos sobre estos ejes.

Figura 16.

[Ver en ambiente 3D]

 

Superficies cilíndricas

Una buena parte de las superficies con las que trabajaremos en el curso se generan a partir de una curva que se mueve en el espacio (llamada generatriz), siguiendo una trayectoria determinada (llamada directriz) . Trazar la gráfica de una superficie de este tipo es muy simple, la idea es arrastrar la generatriz en la dirección de la directriz, el movimiento de la generatriz forma la superficie por la traza que va dejando. En la figura 7,  la curva generatriz es una párabola y como  directriz se usa el vector u = ( 0, 5, 0). En el software para este ejemplo, se puede cambiar la curva y la trayectoria u.

 

Figura 7.


   Definición  (cilindro)

 

Sea $C$ una curva sobre un plano $\Pi$ llamada directriz y sea $L$ una recta no paralela al plano $\Pi$, llamada generatriz. Entonces el conjunto de todos los puntos en las rectas paralelas a $L$ que intersecan a $C$ es un cilindro


Observación : esta definición es una generalización del conocido cilindro circular recto donde, por ejemplo, la generatriz es $x^2+y^2=r^2$ que esta sobre el plano $xy\;$ y la directriz es paralela al eje $z$.Para los fines del curso, vamos a estar interesados únicamente en cilindros cuyas curvas generatrices están sobre planos paralelos a los planos coordenados y cuyas directrices son rectas paralelas a alguno de los ejes coordenados.Este tipo de cilindros se conoce como cilindros rectos.Cuando la directriz es una recta que no es paralela a alguno de los ejes coordenados el cilindro generado se conoce como oblicuo. 

Un cilindro circular recto tiene como generatriz un círculo y como recta directriz una recta paralela a uno de los ejes coordenados.En la figura 7 se muestra un cilindro con generatriz; $x^2 + z^2 = 4, \; \; y = 0\;$ y con recta directriz paralela al eje $y$.

Figura 8.

En la figura 8 se muestra un cilindro parabólico $z = x^2 + 1,
\; \; x = 0$ con generatriz y recta directriz paralela al eje $Y$

 

Figura 9.



Si en la ecuación:

\begin{displaymath}f(x,y,z)=0\end{displaymath}


alguna de las variables $x$, $y$ o $z$ es libre (no aparece en la ecuación), entonces su gráfica corresponde a un cilindro y trazarla resulta muy simple : primero dibujamos la traza de la superficie $f(x, y, z) =
0$ sobre el plano coordenado correspondiente a las variables no libres y luego movemos esta curva en la dirección del eje coordenado correspondiente a la variable libre.Ahora presentamos algunos ejemplos que ilustran esta técnica.


Ejemplo 5

Trazar la gráfica de la superficie cilíndrica cuya ecuación está dada por:

\begin{displaymath}z = 4 - x^2\end{displaymath}

 

Solución

Observando la ecuación $z = 4 - x^2$ notamos que la variable libre es $y$, esto nos dice que debemos dibujar la traza (es decir, la parábola $z = 4 - x^2$) de la superficie sobre el plano $y = 0$ (plano $XZ$) y luego mover esta traza a lo largo del eje $y$ para generar la gráfica de la superficie, como se muestra en la figura 9.

Figura 10.

Observación : el dominio de la función $z =
4 - x$ es $R^2$, esto es un aspecto importante al trazar su gráfica.

Ejemplo 6

Trace la gráfica de la superficie cilíndrica $y=\sqrt{x}$

Solución

En este caso la variable libre es $z$, entonces debemos dibujar la traza (la curva $y=\sqrt{x}$) de la superficie sobre el plano$z = 0$(plano $XY$) y luego debemos moverla a lo largo del eje coordenado$z$.En este caso es muy importante tomar en cuenta que el dominio de la función es $D = \{ (x, z) \in I\hspace{-0.1cm}R^2 \vert
x \geq 0\}$, es decir, sólo sobre esta región vamos a tener gráfica.En la figura 10 se muestra la esta superficie.

Figura 11.

Incluso los planos pueden verse como superficies cilíndricas, por ejemplo, el plano$z =
2 - y$tiene una variable libre$x$, entonces dibujamos la traza de la superficie sobre el planos$x = 0$(plano $yz$) y la movemos a lo largo del eje $x$.

 

Un plano como $x =
2$, tiene dos variables libres$y$y$z$, entonces dibujamos la traza ($x =
2$) sobre el plano$YZ$ y la movemos a lo largo del eje $x$.

 

Figura 12.


Ejemplo 7
Trazar la gráfica de la superficie cilíndrica $\displaystyle{\frac{(x-2)^2}{2}+(y-2)^2=1}$

Solución


La variable libre es$z$, entonces dibujamos la traza sobre el plano $z = 0$ (plano $xy$) y la desplazamos a lo largo del eje $z$, como se muestra en la figura 13.

 

Figura 13.

[Ver en ambiente 3D]

 

 

Ejemplo 4

Trace la gráfica del plano $y + z = 3$.

Solución

En este caso tenemos una variable que no aparece en la ecuación : $x$, entonces el proceso para trazar el plano es muy simple; dibujamos la traza del plano $y + z = 3$ sobre el plano $x = 0$ y luego la desplazamos en la dirección del eje $x$, como se muestra en la figura 6.

Figura 6.

[Ver en ambiente 3D]


 

 


Revista digital Matemática, Educación e Internet.