Walter Mora F,  Geovanni Figueroa M.


Hipérbola


Las hipérbolas aparecen en muchas situaciones reales, por ejemplo, un avión que vuela a velocidad supersónica paralelamente a la superficie de la tierra, deja una huella acústica hiperbólica sobre la superficie. La intersección de una pared y el cono de luz que emana de una lámpara de mesa con pantalla troncocónica, es una hipérbola.

La definición de la hipérbola como lugar geométrico es similar a la dada para la elipse, como vemos en seguida


   Definición 

Una hipérbola es el conjunto de puntos $P = (x, y)$ para los que la diferencia de sus distancias a dos puntos distintos prefijados (llamados focos) es constante.

 

La recta que pasa por los focos corta a la hipérbola en dos puntos llamados vértices. El segmento recto que une los vértices se llama eje transversal y su punto medio es el centro de la hipérbola. Un hecho distintivo de la hipérbola es que su gráfica tiene dos partes separadas, llamadas ramas.


Figura 1.

 

   Teorema (ecuación canónica de la hipérbola)
 

La ecuación canónica de la hipérbola con centro en $(h, k)$ es

\begin{displaymath}\frac{{\left( x - h \right) }^2}{a^2} - \frac{{\left( y - k \right) }^2}{b^2} = 1\end{displaymath}

con eje transversal horizontal. Y

\begin{displaymath}\frac{{\left( y - h \right) }^2}{a^2} - \frac{{\left( x - k \right) }^2}{b^2} = 1\end{displaymath}

con eje transversal vertical.

 

  Los vértices están a una distancia de a unidades del centro y los focos a una distancia de   unidades del centro. Además $b^2 = c^2 - a^2$  

 

Figura 2.

 

Resumiendo:

Si el eje transversal de la hipérbola es horizontal entonces

$\bullet \;$ El centro está en $(h, k)$

$\bullet \;$ Los vértices están en $(h \pm a, k)$

$\bullet \;$ Los focos están en $(h \pm c, k)$.

Si el eje transversal de la hipérbola es vertical entonces

$\bullet \;$ El centro está en $(h, k)$

$\bullet \;$ Los vértices están en $(h,k \pm a)$.

$\bullet \;$ Los focos están en $(h, k \pm c)$.

Una ayuda importante para trazar la gráfica de una hipérbola son sus asíntotas. Toda hipérbola tiene dos asíntotas que se intersecan en su centro y pasan por los vértices de un rectángulo de dimensiones 2a  y 2b  y centro en $(h, k)$.El segmento recto de longitud 2b  que une $(h, k + b)y(h, se llama eje conjugado de la hipérbola. El siguiente teorema identifica la ecuación de las asíntotas.



   Teorema (Asíntotas de una hipérbola)
 

Si la hipérbola tiene un eje transversal horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son

\begin{displaymath}y = k\,\pm \,\frac{b}{a}\,\left( x - h \right)\end{displaymath}

y si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas son

\begin{displaymath}y = k\,\pm \,\frac{a}{b}\,\left( x - h \right)\end{displaymath}

 

 

Observación : las asíntotas de la hipérbola coinciden con las diagonales del rectángulo de dimensiones $2a$ y $2b$ centro $(h, k)$.Esto sugiere una forma simple de trazar tales asíntotas.


   Definición (excentricidad de una hipérbola)
 

La excentricidad $e$ de una hipérbola está dada por el cociente

\begin{displaymath}e = \frac{c}{a} \end{displaymath}

 

Si la excentricidad es grande los focos están cerca del centro y las ramas de la hipérbola son casi rectas verticales. Si la excentricidad es cercana a uno los focos están lejos del centro y la ramas de la hipérbola son más puntiagudas.

La propiedad reflectora de la hipérbola afirma que un rayo de luz dirigido a uno de los focos de una hipérbola se refleja hacia el otro foco (figura 2).


   Teorema (propiedad de reflexión)
  La tangente en un punto P de una hipérbola es la bisectriz del ángulo formado por lo segmentos que unen este punto con los focos.


Figura 3.

 

Ejemplo 1

Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices, la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es

\begin{displaymath}9\,x^2 - y^2 - 36\,x - 6\,y + 18 = 0\end{displaymath}

Solución

Completando el cuadrado en ambas variables


\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} 9\,\left( x^2 - 4\,x + 4 - 4 \right) - ... ... - \frac{{\left( y + 3 \right) }^2}{9} & = & 1 \\ \end{array}\end{displaymath}

Por tanto, el centro está en $(2, -3)$. El eje de la hipérbola es horizontal, $a = \ 1, b = 3$ y


\begin{displaymath}c^2 = a^2 + b^2 \; \Rightarrow \; c^2 = 10 \; \Rightarrow\; c = {\sqrt{10}}\end{displaymath}

Los vértices están en $(1, -3), \;(3, -3)$, los focos en $(2 \pm \sqrt{10}, -3)$ y $(2, -3 - \sqrt{13} $ y la excentricidad es $e = \sqrt{10}$. La gráfica se muestra en la figura 3.



Figura 4.

 

Ejemplo 2

Hallar la ecuación canónica de la hipérbola con vértices en $(3, -5)$ y $(3, 1)$ y asíntotas $y = 2x - 8\;$ y $\;y = -2x + 4$. Además calcule los focos, la excentricidad y trace la gráfica.

Solución

Por ser el centro el punto medio de los vértices sus coordenadas son $(3, \ -2)$. Además, la hipérbola tiene eje transversal vertical y $a =3$. Por otro lado, por el teorema de las asíntotas.


\begin{displaymath}{m_1} = 2 = \frac{a}{b} \; \Rightarrow \; b = \frac{a}{2} \; \Rightarrow \; b = \frac{3}{2}\end{displaymath}

Por tanto, la ecuación canónica es

\begin{displaymath}\frac{{\left( y + 2 \right) }^2}{9} - \frac{{\left( x - 3 \right) }^2}{\frac{9}{4}} = 1\end{displaymath}

El valor de $c $ está dado por

\begin{displaymath}c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow c^2 = \frac{45}{4} \Rightarrow c = \frac{3\,{\sqrt{5}}}{2}\end{displaymath}

Los focos están en $( 3,-2 - \frac{3\,{\sqrt{5}}}{2})$ y $( 3,-2 + \frac{3\,{\sqrt{5}}}{2})$ y la excentricidad es $e = \frac{{\sqrt{5}}}{2}$ La gráfica se muestra en la figura 4.


Figura 5.

 

Ejercicios

  1. Determine la ecuación canónica y los demás elementos de la hipérbola tal que para cualquier punto sobre ella la diferencia entre sus distancias a los puntos $(-3, 0)$ y $(-3, 3)$ es $2$.


  2. Determine la ecuación canónica y los demás elementos de la hipérbola con vértices en $(0, 2)$ y $(6, 2)$ y asíntotas en $y = 2/3x \; \wedge \; y = 4 - 2/3x$.


  3. Hallar el valor de $a$ de forma que la hipérbola


    \begin{displaymath}\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4} = 1 \end{displaymath}

    sea tangente a la recta $2x - y = 4$.

  4. Determine el tipo de cónica representada por la ecuación


    \begin{displaymath}\frac{x^2}{k} + \frac{y^2}{k - 16} = 1\end{displaymath}

    en los casos

    a.) Si $k > 16$

    b.) Si $0 < k < 16$

    c.) Si $k < 0$

 5. Determine la excentricidad de la cónica con ecuación: \begin{displaymath}3\,x^2 - y^2 + 12\,x + 9 = \end{displaymath} 0


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