Walter Mora F,  Geovanni Figueroa M.

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Rectas en el espacio


Consideremos la recta $L$ que pasa por $P$ y por $Q$. Esta recta es paralela al vector $\overrightarrow{v}= \overrightarrow{PQ}$, por lo tanto, dado un punto $R=(x,y,z) \in L$, se debe cumplir que

\begin{displaymath}\overrightarrow{PR}= t\, v, \; \; \; \mbox{o sea} \; \; \; R-P\, =\,t\, \overrightarrow{v}; \; \; t \in I\!\!R\end{displaymath}

de donde $(x,y,z)= P + t\, \overrightarrow{v}$.

Figura 23. Ecuación vectorial de una recta

[Ver en 3D: versión 1]  [Ver en 3D: versión 2 ]

 


   Definición 1

 Si $L$ es una recta que pasa por los puntos $P=(p_1,p_2,p_3),\; Q=(q_1,q_2,q_3) $, y si ponemos $\mathbf{\overrightarrow{v}}=Q-P$ entonces
 
  1. La ecuación vectorial de $L$ es

    \begin{displaymath}(x,y,z)=P+t\,\overrightarrow{v}, ; \; \; \; t \in I\!\!R\end{displaymath}

  2. Despejando $x,y \, \wedge z\,$ obtenemos las ecuaciones parámetricas de $L$

    \begin{displaymath}\begin{array}{ccc} x & = & p_1 + t \, v_1 \\ & & \\ y & ... ... + t \, v_2 \\ & & \\ z & =& p_3 + t \, v_3 \\ \end{array}\end{displaymath}

  3. Si cada $v_i \neq 0$, despejando $t$ obtenemos las ecuaciones simétricas de $L$

    \begin{displaymath}\frac{x-p_1}{v_1}\,=\, \frac{x-p_2}{v_2}\,=\,\frac{x-p_3}{v_3}\end{displaymath}


$\bullet \; \;$Como podemos escoger dos puntos cualesquiera (distintos) de una recta para obtener una ecuación,  las ecuación de una recta no es   única.


EJEMPLO 1  


Consideremos la recta $L$ que pasa por $P=(1,3,-2) \;$ y $Q=(2,1,-2)$. En este caso $\mathbf{\overrightarrow{v}} = Q-P\, = \,(1,-2,0)$, luego


Figura 24. Recta

 

  1. Ecuación vectorial: $(x,y,z)=(1,3,-2)+t\,(1,-2,0)$
  2. Ecuaciones parámetricas:

    \begin{displaymath}\begin{array}{rcl} x & = & 1 + t \\ & & \\ y & =& 3 - 2t \\ & & \\ z & =& -2 \\ \end{array}\end{displaymath}

  3. Ecuaciones simétricas:

    \begin{displaymath}x-1\,=\, \frac{y-3}{-2};\; \; z\,=\,-2.\end{displaymath}



$\bullet \; \;$Observe que el segmento que va de $P$ a $Q$ es el conjunto de puntos

\begin{displaymath}\; \; \{P+t\,(Q-P); \; \; \; t \in [0,1]\}\;\end{displaymath}


En particular, si $t=\frac{1}{2}$, obtenemos el punto medio del segmento $P+\frac{1}{2}(Q-P)=\frac{P+Q}{2}$

Figura 25.  segmento PQ

 

 

Ángulo,paralelismo, perpendicularidad e intersección

 
   Definición 2

 
Consideremos dos rectas,

$\;L_1: \; (x,y,z)= P + t \overrightarrow{v}; \; \; \; t \in I\!\!R\; \; \wedge \; \;\;L_2: \;(x,y,z)= Q + s \overrightarrow{w}; \; \; \; s \in I\!\!R$

  1. $L_1 \;\parallel \; L_2\;$ si y sólo si $\; \mathbf{\overrightarrow{v}} \; \parallel \; \mathbf{\overrightarrow{w}} $
  2. $L_1 \;\perp \; L_2\;$ si y sólo si $\; \mathbf{\overrightarrow{v}} \; \perp \; \mathbf{\overrightarrow{w}} $
  3. El ángulo entre $L_1$ y $L_2$ es igual al ángulo entre $\mathbf{\overrightarrow{v}}$ y $\mathbf{\overrightarrow{w}}$

 

Figura 26.  Rectas paralelas

[Ver en 3D]

 

Figura 27.  Rectas perpendiculares

[Ver en 3D]

 



Intersección

Para  calcular la intersección entre  dos rectas  $L_1$ y $L_2$, igualamos sus ecuaciones

 

 

 

Figura 28.  Intersección de rectas

[Ver en 3D]

 


$\bullet \; \;$La solución del sistema $P+t\,v \,=\, Q+s \,w$, o sea,

\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{ccc} t\,v_1-s\,w_1 & =& q_1-p_1\\ &... ...\\ & & \\ t\,v_3-s\,w_3 & =& q_3-p_3\\ \end{array}\right. \end{displaymath}



nos da el o los puntos de intersección entre $L_1$ y $L_2$. Como el sistema es lineal, entonces

$\bullet \; \;$Si hay solución única: las rectas se intersecan en un solo punto

$\bullet \; \;$Si hay infinitas soluciones: las rectas coinciden

$\bullet \; \;$Si no hay solución: las rectas no se intersecan


$\bullet \; \;$
Observe que, para el cálculo de la intersección, usamos un párametro distinto en cada recta. Esto es así porque si hay un punto de intersección, usualmente puede ser obtenido, en cada recta, con un valor de parámetro distinto. Por ejemplo:

La rectas

$L_1: \; \; (-1,3,1)+t\,(4,1,0)$

 $L_2:\; \;(-13,1)+s\,(12,6,3)$,

se intersecan en el punto $(-17,-1,1)$.

Este punto se obtiene con $t=-4$ en la primera recta y con $s=-\frac{1}{3}$ en la segunda recta.


\begin{displaymath}\begin{array}{ccc} (-17,-1,1)& = & (-1,3,1)-4\,(4,1,0) \\ ... ...(-17,-1,1) & = & (-13,1)-\frac{1}{3}\,(12,6,3) \\ \end{array}\end{displaymath}


EJEMPLO 2  

Consideremos la recta $L_1$ de ecuaciones simétricas

\begin{displaymath}\frac{x+1}{3}\,=\, \frac{y+2}{2}\, =\, z-1\end{displaymath}

$L_1$ va en la dirección de $\mathbf{\overrightarrow{v}}=(3,2,1)$

  1. $L_1$ es paralela a la recta $L_2: \; (x,y,z)=(1,3,-2)+t\,(6,4,2)$ pues $(6,4,2)=2\mathbf{\overrightarrow{v}}$

  2. $L_1$ es perpendicular a la recta $L_3: \; (x,y,z)=(0,2,-1)+t\,(-1,0,3)$ pues $(-1,0,3) \cdot \mathbf{\overrightarrow{v}} = 0$

  3. $L_1$ no interseca a $L_4: \; (x,y,z)=(0,0,1)+t\,(1,2,1)$ pues el sistema

    \begin{displaymath}\begin{array}{rcl} 3t-s & = & 1 \\ & & \\ 2t-2s & =& 2 \\ & & \\ t-s & =& 0 \\ \end{array}\end{displaymath}

    no tiene solución (hay una clara inconsistencia entre la segunda y tercera ecuación).

 

Figura 29.

[Ver en 3D]

 

 

Planos en el espacio tridimensional.
Ecuación vectorial, normal y cartesiana



Así como una recta esta determinada por dos puntos distintos, un plano está determinado por tres puntos no colineales.


Una manera muy conveniente de obtener una ecuación del plano $\Pi$ en $I\!\!R^3$ que pasa por los puntos $P,\; Q,\;$$\;R$, es observar que los puntos $(x,y,z) \in \Pi \;$ tienen la propiedad

\begin{displaymath}[(x,y,z)-P]\cdot \left( \overrightarrow{QP} \times \overrightarrow{RP} \right) = 0 \end{displaymath}

Esta ecuación es una ecuación normal de $\Pi$

 

Figura 30.

[Ver en 3D] [Ver en 3D con Jview]

 



Si ponemos $\overrightarrow{N}\,=\,\overrightarrow{QP} \times \overrightarrow{RP}\,=\,(a,b,c)$ y desarrollamos la ecuación anterior, obtenemos una ecuación cartesiana de $\Pi$

\begin{displaymath}a\,x +b\,y +c\,z = \overrightarrow{N} \cdot P \end{displaymath}


Finalmente, podemos observar que si $(x,y,z)$ está en $\Pi$, entonces

\begin{displaymath}(x,y,z) = P+ t\,\overrightarrow{QP}+ s\,\overrightarrow{RP}; \; \; \; t,s \in I\!\!R \end{displaymath}

Esta es una ecuación vectorial de $\Pi$.

 

Figura 31.

 [Ver en 3D-LG3D]  [Ver en 3D con Jview]

 

Figura 32.

[Ver en 3D] [Ver en 3D con Jview]

 

 


   Definición 3


Consideremos un plano $\Pi$ que pasa por los puntos no colineales $P,Q,R$.

  1. $\overrightarrow{N}=(a,b,c)$ es un vector normal al plano $\Pi$ si $\overrightarrow{N} \cdot [(x,y,z)-P]=0$ para cualquier $(x,y,z) \in \Pi$.

  2. Si $\overrightarrow{N}=(a,b,c)$ es un vector normal al plano $\Pi$ entonces

    \begin{displaymath}[(x,y,z)-P]\cdot \overrightarrow{N} = 0 \end{displaymath}

    se llama una ecuación normal de $\Pi$

  3. Si $\overrightarrow{N}=(a,b,c)$ es un vector normal del plano $\Pi$ entonces

    \begin{displaymath}a\,x +b\,y +c\,z = \overrightarrow{N} \cdot P \end{displaymath}

    se llama una ecuación cartesiana del plano $\Pi$

  4. Si $\mathbf{\overrightarrow{v}}=\overrightarrow{PQ}$ y si $\mathbf{\overrightarrow{w}}=\overrightarrow{PR}$ entonces

    \begin{displaymath}(x,y,z) = P+ t\,\mathbf{\overrightarrow{v}}+ s\,\mathbf{\overrightarrow{w}}; \; \; \; t,s \in I\!\!R \end{displaymath}

    se llama una ecuación vectorial del plano $\Pi$



$\bullet \; \;$Tres puntos $P=(p_1,p_2,p_3),\; Q=(q_1,q_2,q_3)\;$ y $\; R=(r_1,r_2,r_3)\in I\!\!R^3\;$ son no colineales si

\begin{displaymath}\left\vert \begin{array}{ccc} p_1 & p_2 & p_3 \\ & & \\ ... ... & & \\ r_1 & r_2 & r_3 \\ \end{array} \right\vert \neq 0 \end{displaymath}


EJEMPLO 3  



Consideremos un plano $\Pi_1$ que pasa por los puntos no colineales $ \,P=(1,1,1), \, Q=(2,1,2)\;$ y $ \, R=(0,2,-1)$

  1. Ecuación vectorial: $(x,y,z)= (1,1,1)+t\,(1,0,1)+s\,(-1,1,-2)$

  2. Ecuación cartesiana: un vector normal es $\overrightarrow{N} \,= \,\overrightarrow{QP} \times \overrightarrow{RP} \, = \, (1,0,1) \times (-1,1,-2) \, =\,(-1, 1, 1)$. Como $\overrightarrow{N} \cdot P = 1$, una ecuación cartesiana es

    \begin{displaymath}-x+y+z=1\end{displaymath}
     
    Figura 33.


Paralelismo, perpendicularidad y ángulo

 

   Definición 4

 
Consideremos una recta $L_1: \; (x,y,z)= P + t\, \overrightarrow{v}\;$ y dos planos de ecuación cartesiana
\begin{displaymath}\Pi_1: \; a_1x+b_1y+c_1z = d_1\; \; \; \; \mbox{y} \; \; \; \; \Pi_2: \; a_2x+b_2y+c_2z = d_2 \end{displaymath}

Entonces, siendo $\overrightarrow{N_1}\,=\,(a_1,b_1,c_1), \;$ y $\; \overrightarrow{N_2}\,=\,(a_2,b_2,c_2) $, normales a $\Pi_1$ y $\Pi_2$, respectivamente,

  1. $\Pi_1 \, \parallel \, \Pi_2$ si y sólo si $\overrightarrow{N_1} \, \parallel \, \overrightarrow{N_2}$

  2. $\Pi_1 \, \perp \, \Pi_2$ si y sólo si $\overrightarrow{N_1} \, \perp \, \overrightarrow{N_2}$

  3. El ángulo entre los planos es el ángulo entre los vectores normales

  4. $\L _1 \, \parallel \, \Pi_1$ si y sólo si $\overrightarrow{N_1} \, \perp \, \overrightarrow{v}$

  5. $\L _1 \, \perp \, \Pi_1$ si y sólo si $\overrightarrow{N_1} \, \parallel \, \overrightarrow{v}$


EJEMPLO 4  


Consideremos tres puntos $ P=(0,0,-1), \; Q=(1,2,1), \; R=(1,4,4)\; $ no colineales. Para obtener un punto $D$ tal que los cuatro puntos conformen un paralelogramo, debemos escoger $D$ de la siguiente manera

\begin{displaymath}D = P + (Q-P) + (R-P)= Q+R-P \end{displaymath}

Esto es así puesto que $D$ debe estar en el plano que contiene a $P,Q,R$.

Figura 38.


EJEMPLO 5  


Consideremos el problema de obtener la ecuación cartesiana del plano $\Pi_1$ que contenga a la recta

\begin{displaymath}L_1: \; (x,y,z)= (1,2,1) + t\, (0,2,3)\;\end{displaymath}

y al punto $P=(0,0,-1)$ (que no está en $L_1$).

Para encontrar la ecuación cartesiana del plano $\Pi_1$, buscamos tres puntos no colineales en este plano; podemos considerar  el punto $P$ que ya tenemos y dos puntos de la recta.

Para obtener estos dos puntos de la recta, le damos una par de valores al parámetro $t$, en la recta,  tal que nos generen dos puntos adicionales. Digamos que ponemos $t=0$ y $t=1$. Así, tres puntos  en el plano $\Pi$ son


\begin{displaymath}P=(0,0,-1), \; Q=(1,2,1), \; R=(1,4,4) \end{displaymath}

Observe que $\left\vert \begin{array}{ccc} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 4\\ \end{array} \right\vert=-2 \neq 0$ ,así que son puntos no colineales



Bien, ahora tomemos $\overrightarrow{N} \,= \,\overrightarrow{QP} \times \overrightarrow{RP} \, = \, (1,2,2) \times (1,4,5) \, =\,(2, -3, 2)$. Como $\overrightarrow{N} \cdot P = -2$, una ecuación cartesiana es

\begin{displaymath}2x-3y+2z=-2\end{displaymath}
 

 

Figura 39.


EJEMPLO 6  


Consideremos el problema de obtener la ecuación cartesiana del plano $\Pi_1$ que sea paralelo, simúltaneamente, a las rectas

\begin{displaymath}L_1: \; (x,y,z)= (1,2,1) + t\, (0,2,3), \; \; \; \; \; \; L_2: \; (x,y,z)= (1,0,1) + t\, (5,0,0)\end{displaymath}

y que contenga al punto $P=(1,1,1)$

De acuerdo a la teoría, un vector normal a $\Pi$ debe ser perpendicular a $(0,2,3)$ y a $(5,0,0)$; entonces para encontrar la ecuación cartesiana del plano $\Pi_1$, podemos tomar $\overrightarrow{N} \,= \,(0,2,3) \times (5,0,0) \, = \, (0,15,-10)$. Como $\overrightarrow{N} \cdot P = 5$, una ecuación cartesiana es

\begin{displaymath}15y-10z=5\end{displaymath}
 
 

Figura 39.

[Ver en 3D]

 


EJEMPLO 7  


Consideremos el problema de obtener la ecuación cartesiana del plano $\Pi_1$ que sea perpendicular a la recta

\begin{displaymath}L_1: \; (x,y,z)= (1,2,1) + t\, (0,2,3)\end{displaymath}

y que contenga al punto $P=(1,1,1)$

Para encontrar la ecuación cartesiana del plano $\Pi_1$, podemos tomar $\overrightarrow{N} \,= \,(0,2,3)$. Como $\overrightarrow{N} \cdot P = 5$, una ecuación cartesiana es

\begin{displaymath}2y+3z=5\end{displaymath}
 
 

Figura 40.

[Ver en 3D]

 



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