Lic. Julio RodríguezM.Sc. Alcides Astorga

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Operaciones con intervalos

Dado que los intervalos constituyen un tipo particular de conjuntos, definiremos a continuación algunas operaciones, con conjuntos en general, e ilustraremos estas operaciones mediante ejemplos, de entre los cuales en algunos casos se involucrarán intervalos.

Debido a su gran utilidad en este Capítulo, las operaciones que nos interesa definir aquí son: la intersección, la unión y la diferencia de conjuntos.


   Definición
 

Sean $A$ y $B$ conjuntos. Se define la intersección de $A$ y $B$ y se denota $A \cap B$, al conjunto cuyos elementos pertenecen a $A$ y también a $B$.

Simbólicamente se tiene que:

Ejemplo

Si y . Determine $A \cap B$

Solución

Los elementos que están en $A$ y también en $B$ son: 4 y 5.
Por lo tanto:

\begin{displaymath}{A \cap B} = \{4,5 \} \end{displaymath}

Ejemplo

Si $A = [0,5] \; \;$ y $B = [2,7]$.  Determine $A \cap B$

Solución

Geométricamente podemos representar los conjuntos $A$ y $B$ de la manera siguiente:

 


De aquí podemos observar que los elementos que están en $A$ y también en $B$ son los números reales que están entre 2 y 5, incluyendo a éstos; por lo que:


\begin{displaymath}A \cap B = [0,5] \cap [2,7] = [2,5] \; \; \mbox{ o sea: } \; \; A \cap B = [2,5] \end{displaymath}

Ejemplo

Si $A = [-2,3]\; \; $ y $ \; \; B = \{-2,3 \}$Determine $A \cap B$

Solución  

Geométricamente podemos representar a los conjuntos $A$ y $B$ de la siguiente manera:



De aquí observamos que los únicos elementos que están en $A$ y también en $B$ son -2 y 3; por lo que:

\begin{displaymath}A \cap B = [-2,3] \cap \{-2,3 \} = \{-2,3 \} \; \; \mbox{ o sea } \; \; A \cap B = \{-2,3 \} \end{displaymath}

Ejemplo

Si $A = ]-3,4[ \; \; $ y $B = \{-3,4 \}$.Determine $A \cap B$

Solución  

 


Como podemos observar $A$ y $B$ no tienen elementos comunes por lo que:

\begin{displaymath}A \cap B = \; \; ]-3,4[ \; \; \cap \; \; \{-3,4 \} \; \; = \; \emptyset\end{displaymath}

Ejercicio

Para cada uno de los casos siguientes determine el conjunto $A \cap B$.

  1. $A = \; [2,5]\;$; $ \; \; \; B = [-1,3[$

  2. $A = \; [2,+\infty[\;$; $ \; \; \; B = \; \; ]-\infty,5[$

  3. $A = [-3,11[\; \; $; $ \; \; \; B = \{6,11 \}$

  4. ;

 

   Definición
 

Sean $A$ y $B$ y conjuntos. Se define la unión de $A$ y $B$ y se denota $A \cup B$, al conjunto cuyos elementos pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos $A$ y $B$.
Simbólicamente se tiene que: $A \cup B = \{x/x \in A \; \; \mbox{
o }\; \; x \in B \}$

Ejemplo

Si $A = \{1,2,3,4,5 \} \; \;$ y $ \; \;B = \{4,5,6 \}$. Determine $A \cup B$

Solución

$A \cup B \; = \; \{1,2,3,4,5 \} \; \;\; \cup \; \; \{4,5,6 \} \;
= \;\{1,2,3,4,5,6\} \;\; \mbox{ o sea } \; A \cup B = \;
\{1,2,3,4,5,6\} $

Ejemplo

Si $A = [-3,4]\; \; $ y $\; \; B = [-1,7]$.Determine $A \cup B$

Solución

Representaremos a $A$ y a $B$ geométricamente:



De aquí podemos observar que los elementos que están en $A$ o en $B$, son los números reales que están entre -3 y 7, incluyendo a éstos, así:

\begin{displaymath}A \cup B = \; [-3,4] \; \; \cup \; \; [-1,7] \; = \; [3,7]\; \; \mbox{ o sea } \; \; A \cup B = \; [3,7]\end{displaymath}

Ejemplo

Si $A = \; ]-\infty,2[ \; \;$ y $ \; \; B = \{-2,2 \}$. Determine $A \cup B$

Solución

Representaremos a $A$ y a $B$ geométricamente:



 

De aquí observamos que: $\; A \cup B = \; ]-\infty,2[ \; \; \;
\cup \; \; \{-2,2\} \; = \;\; ]-\infty,2]$

Ejemplo

Si $A = \;\; ]-3,5[ \; \; $ y $\; \; B = \{3,4,5,6,7,8\}$. Determine $A \cup B$

Solución

Representemos a $A$ y a $B$ geométricamente:



De aquí observamos que: $\; \; A \cup B = \; \; ]-3,5] \; \cup
\; \{6,7,8\}$

Ejemplo   

Si $A = \; ]-4,2[ \; \;$ y $\; \; B = ]5,+\infty[ $. Determine $A \cup B$

Solución

Representaremos a $A$ y a $B$ geométricamente:

 
 

De aquí observamos que: $\; A \cup B = \; ]-4,2[ \; \; \; \cup
\; \; ]5,+\infty[$

Geométricamente podemos representar $\; A \cup B$ así:

 

 

Ejercicios  

Para cada uno de los casos siguientes determine el conjunto $A \cup B$ y represente geométricamente los conjuntos A, B y $A \cup B$.
  1. $A = \; [-2,5]\;$ $ \; \; \; B = ]0,7[$
  2. $A = \;]-5,3]\;$ $ \; \; \; B = \{-5,0,5,10\}$
  3. $A = \;]-\infty,-1[\; \; $ $ \; \; B = ]2,+\infty[$
  4. $A = \;]-\infty,3[\; \; $ $ \; \; B = ]3,+\infty[$
  5. $A = \;[3,5[\;$ $ \; \; \; B = \{8,10\}$
  6. $A = \;]-\infty,2[\; \; $ $ \; \; B = ]0,+\infty[$

   Definición
  Sean $A$ y $B$ conjuntos. Se define la diferencia de $A$ y $B$ y se denota $A - B$, al conjunto cuyos elementos pertenecen a $A$ y no a $B$.

 

Ejemplo   

Si $A = \; \{2,4,6,8,10 \} \; \;$ y $\; \; B = \{1,2,3,4,5 \} $. Determine $A - B$ y $B - A$

Solución

i. Los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B son $6,8,10$; por lo que $A - B = \{6,8,10\}$

ii. Los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A son $1,3,5$; por lo que $B - A = \{1,3,5\}$

Ejemplo  

Si $A = \; [-3,5] \; \;$ y $\; \; B = \{5 \} $, determine $A - B$

Solución

$A - B = [-3,5] - \{5\} = [-3,5[$ o sea: $A - B = [-3,5[$

Ejemplo   

Si $A = \;\mathbb{R}\; \;$ y $\; \; B = [-2,3[ $, determine $A - B$ y $B - A$

Solución

Representemos a $A$ y a $B$ geométricamente.

 

 

De aquí podemos observar que:


i. $\; A - B =\;\; \mathbb{R}- [-2,3[\;\; =\;\; ]-\infty,-2[\;\; \cup \;\;[3,+\infty[$
$A - B =\;\; ]-\infty,-2[\;\; \cup \;\;[3,+\infty[$

ii. $B - A = [-2,3[ - \mathbb{R}= \emptyset$; o sea: $B - A =
\emptyset$

Ejercicios  

Para cada uno de los casos siguientes determine el conjunto $A - B$ y $B - A$.
  1. $A = \; [-10,7]\;$; $ \; \; \; B = \{-10,7\}$
  2. $A = \; ]-\infty,3]\;$; $ \; \; \; B = \; \; \{0,3,5\}$
  3. $A = \mathbb{R}\; \; $; $ \; \; \; B = ]-5,9[$
  4. $A = \; ]-2,6[\;$; $ \; \; \; B = [3,+\infty[$
  5. $A = \; ]-\infty,2[\;$; $ \; \; \; B = \; \; ]-3,+\infty[$

Inecuaciones

   Definición
  Sean $a$ y $b$ representan expresiones algebraicas en el conjunto de los números reales entonces expresiones como: $a<b$, $a \leq
b$, $a>b$ y $a \geq b$ reciben el nombre de desigualdades o inecuaciones  y se dice que a y b son los miembros de la desigualdad.


Ejemplos

a.
$50 > 22 $

b.
$\displaystyle{\frac{5}{2} \geq -2 }$

c.
$\displaystyle{3 < \sqrt{24}}$

d.
$x + 2 \geq 5$

e.
$x \leq y$

f.
$x + 3 < y - 5$

Definición
Una desigualdad entre dos expresiones algebraica donde al menos una de ellas involucra variables, recibe el nombre de inecuación.
 


Ejemplos

a.
$x + 2 \geq 5$

b.
$x * y+ z \leq x + 3 $

c.
$\displaystyle{\frac{x+y}{x-y} > 1}$

d.
$\displaystyle{ \sqrt{5x-2} < 3}$

e.
$x + y < -3x-y$

d.
$\displaystyle{ a^{3}-1 \geq 0}$

   Definición
En una inecuación las variables involucradas reciben el nombre de incógnitas

   Definición
  Si la inecuación involucra n variables, se dice que es una inecuación con n incógnitas.

A continuación nuestro objetivo es estudiar, analizar y resolver inecuaciones con una incógnita.

 

 

 

   Definición
  En una inecuación con una incógnita, cualquier número real que esté contenido en el dominio de las incógnitas, y que al sustituirse por la incógnita en la inecuación hace que la desigualdad correspondiente sea verdadera, es una solución de la inecuación.


Ejemplos

a.
En $x+2 > 3$; si $x$ se sustituye por $5$, se obtiene una desigualdad verdadera: $5+2 > 3$; además $5$ pertenece al dominio de la incógnita, por lo que $5$ es una solución de la inecuación $x+2 > 3$.

b.
En $x^2 \geq 5$, si $x$ se sustituye por $-3$, se obtiene una desigualdad verdadera: $(-3)^2 \geq 5 $; además $-3$ pertenece al dominio de la incógnita, por lo que $-3$ es una solución de la inecuación $x^2 \geq 5$.

c.
En $\displaystyle{\sqrt{x+2} < 2}$; si $x$ se sustituye por $3$, se obtiene una desigualdad falsa: $\displaystyle{\sqrt{3+2} < 2}$ por lo que $3$ no es una solución de la inejuación $\displaystyle{\sqrt{x+2} < 2}$.

Ejercicios  

Para cada una de las siguientes inecuaciones, escriba 3 soluciones:

1.
$x+3 \leq -6 $

2.
$\displaystyle{\frac{1}{x} > 7}$

3.
$\displaystyle{\sqrt{x+3} \geq x}$

4.
$\displaystyle{7 - x^{2} > 0}$

   Definición
  Dada una inecuación de una incógnita, el subconjunto S del dominio de la incógnita, cuyos elementos son las soluciones de la inecuación dada, recibe el nombre de conjunto solución.

 

Ejemplos

a.
En $x > -3$, el dominio de la incógnita es $\mathbb{R}$, y esta desigualdad es verdadera únicamente para los valores de x mayores que $-3$; por lo que su conjunto solución es $]-3,+\infty[$ o sea:


$S= ]-3 , +\infty[$


b.

En $x^{2}-4 \leq 0$ el dominio de la incógnita es $\mathbb{R}$ y se puede demostrar que esta desigualdad es verdadera únicamente para los valores de x mayores o iguales que $-2$ y menores o iguales que $2$, por lo que su conjunto solución es $[-2,2]$ o sea:


$S= [-2,2]$


c.

En $x^{2}-2x-3 > 0$; el dominio de la incógnita es $\mathbb{R}$, y se puede demostrar que esta desigualdad es verdadera únicamente para los valores de x menores que $-1$ o mayores que $3$, por lo que su conjunto solucón es $]-\infty, -1[ \cup ]3,
+\infty[$ o sea:
$S= ]-\infty, -1[ \cup ]3, +\infty[$

Convenio
Resolver una inecuación consiste en determinar su conjunto solución.

 

   Definición
  Diremos que dos inecuaciones con una incógnita son equivalente sí y solo sí, tienen el mismo dominio de la incógnita y el mismo conjunto solución.

 

Ejemplos

a.
El conjunto solución de $x \geq 3$ es $[3, +\infty[$
El conjunto solución de $3x \geq 6$ es $[3, +\infty[$
como las inecuaciones $x \geq 3$ y $3x \geq 6$ tienen el mismo conjunto solución , entonces son equivalentes entre sí.


b.
El conjunto solución de $x + 2 < 7$ es $]-\infty,5[$
El conjunto solución de $x < 5$ es $]-\infty,5[$
como las inecuaciones $x + 2 < 7$ y $x < 5$ tienen el mismo conjunto solución , entonces son equivalentes entre sí.




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