Lic. Julio RodríguezM.Sc. Alcides Astorga

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Orden en el conjunto de los números reales

a) Representación de los números reales

Es posible establecer una correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta (recta numérica) de la siguiente manera.


Dada una recta, se selecciona un punto arbitrario de ésta para representar el cero (0) y otro punto a la derecha del cero para representar el uno (1). Luego dividimos toda la recta en segmentos que tengan la misma longitud que el segmento de cero a uno, para así representar los números enteros, los números 1, 2, 3, 4, ... (en este orden) a la derecha del cero y los números -1, -2, -3, ... (en este orden) a la izquierda del cero.
Los restantes números reales se representan en esta recta, usando su expansión decimal tal como se muestra en el ejemplo que sigue.


Ejemplo:

Represente en la recta numérica los números $ \displaystyle{ {\frac{6}{5}}} $ y $ \displaystyle{ {\frac{-7}{2}}} $

Solución:

$ \displaystyle{ {\frac{6}{5}}} =1.2 \hspace{0.5cm}$ y $\hspace{0.5cm} \displaystyle{ {\frac{-7}{2}}} =-3.5$

Usando estos resultados, podemos representar en la recta numérica $ \displaystyle{ {\frac{6}{5}}} $ y $ \displaystyle{ {\frac{-7}{2}}} $ de la siguiente manera.

 

 

   Definición
   

En una recta numérica el punto que representa el cero recibe el nombre de origen.

 


   Definición
 

 

  1. Los números reales que se representan a la derecha del origen se llaman números reales positivos.

  2. Los números reales que se representan a la izquierda del origen se llaman números reales negativos.

 

b) La relación "menor que" en el conjunto de los números reales.

En el conjunto de los números reales se define una relación, llamada "menor que", de la siguiente manera.



   Definición
 

Sean $a\, \varepsilon \, I\! \! R,
\,\, b\, \varepsilon \,I\! \! R$. Se dice que $a$ es menor que $b$, y se escribe $a<b$, si $a-b$ es un número negativo.  

Ejemplo


a.)   $2<3$ pues $2-3=-1$ y $-1$ es negativo
b.) $-3<1$ pues $-3-1=-4$ y $-4$ es negativo
c.) $-5<-2$ pues $-5-(-2)=-3$ y $-3$ es negativo
d.) $-6<0$ pues $-6-0=-6$ y $-6$ es negativo

 

De la definición de la relación "menor que" se tiene que todo número negativo es menor que cero.

c) La relación "mayor que" en el conjunto de los números reales.



   Definición
 

Sean $a\, \varepsilon \, I\! \! R,
\,\, b\, \varepsilon \,I\! \! R$, se dice que $a$ es mayor que $b$, y se escribe $a>b$, si $a-b$ es un número positivo.

Ejemplo


a.) $5>2$ pues $5-2=3$ y $3$ es positivo
b.) $3>-1$ pues $3-(-1)=4$ y $4$ es positivo
c.) $-2>-4$ pues $-2-(-4)=2$ y $2$ es positivo
d.) $7>0$ pues $7-0=7$ y $7$ es positivo

De la definición de la relación "mayor que" se tiene que todo número positivo es mayor que cero. 

d) Algunas propiedades de la relación "menor que"

 

1. Si $a\, \varepsilon \, I\! \! R,
\,\, b\, \varepsilon \,I\! \! R$ entonces se cumple una y solo una de las siguientes condiciones: $a<b, \, \, b<a, \, \, a=b $
2.

Sean $a\, \varepsilon \, I\! \! R, \,\, b\, \varepsilon
\,I\! \! R, \,\, c\, \varepsilon \,I\! \! R$. Si $a<b$ y $b<c$ entonces $a<c$

3. Sean $a\, \varepsilon \, I\! \! R,
\,\, b\, \varepsilon \,I\! \! R$. Si $0<a$ y $0<b$ entonces $0<a\cdot b$
4. Sean $a\, \varepsilon \, I\! \! R,
\,\, b\, \varepsilon \,I\! \! R$. Si $a<0$ y $b<0$ entonces $0<a\cdot b$
5. Sean $a\, \varepsilon \, I\! \! R,
\,\, b\, \varepsilon \,I\! \! R$. Si $a<0$ y $0<b$ entonces $a\cdot b<0$
6. Sean $a\, \varepsilon \, I\! \! R,
\,\, b\, \varepsilon \,I\! \! R$. Si $0<a$ y $b<0$ entonces $a\cdot b<0$
7. Sea $a\, \varepsilon \, I\! \! R$. Si $a<0$ entonces $0<-a$
8. Sean $a\, \varepsilon \, I\! \! R,
\,\, b\, \varepsilon \,I\! \! R$. Si $a<b$ entonces $-b<-a$
9. Sean $a\, \varepsilon \, I\! \! R, \,\, b\, \varepsilon \,I\! \! R,\,\, b\neq 0$. Si $ \displaystyle{ 0< {\frac{a}{b}}} $ entonces $0<a\cdot b$
10. Sean $a\, \varepsilon \, I\! \! R, \,\, b\, \varepsilon \,I\! \! R,\,\, b\neq 0$. Si $ \displaystyle{ {\frac{a}{b}}<0} $ entonces $a\cdot b<0$
11. Sean $a\, \varepsilon \, I\! \! R, \,\, b\, \varepsilon
\,I\! \! R, \,\, c\, \varepsilon \,I\! \! R$. Si $a<b$ entonces $a+c<b+c$
12. Sean $a\, \varepsilon \, I\! \! R, \,\, b\, \varepsilon
\,I\! \! R, \,\, c\, \varepsilon \,I\! \! R,
\, \, c>0$. Si $a<b$ entonces $a\cdot c<b\cdot c$

Observación:

  1. Si en cada una de las propiedades anteriores se sustituye el símbolo "$<$" por el símbolo "$>$"; las propiedades que se obtienen son ciertas (y corresponden a la relación "mayor que")

     

  2. Si $a$ y $b$ son números reales: decir que "$a$ es menor que $b$" es equivalente a decir que "$b$ es mayor que $a$". Simbólicamente se escribe:

    Si $a\, \varepsilon \, I\! \! R,
\,\, b\, \varepsilon \,I\! \! R$$a<b \Leftrightarrow b>a $

Ejemplo


a.)

$2<3$ es equivalente a $3>2$

b.) $-1<-5$ es equivalente a $-5>-1$
c.)

$-2<0$ es equivalente a $0>-2$

 

Notación: Sean $a\, \varepsilon \, I\! \! R,
\,\, b\, \varepsilon \,I\! \! R$. La expresión "$a<b$ o $a=b$" usualmente se escribe $a\leq b$. La expresión "$a\leq b$" se lee a es menor o igual que b.

Observación: sean $a\, \varepsilon \, I\! \! R,
\,\, b\, \varepsilon \,I\! \! R$. Para que "$a\leq b$" sea verdadera basta con que se cumpla una de las siguientes condiciones:

  1. $a<b$

  2. $a=b$

Ejemplo


a.) $4\leq 6$ es verdadera pues $4<6$
b.) $2\leq 2$ es verdadera pues $2=2$
c.)

$5\leq 3$ es falsa pues no se cumple $5<3$ ni $5=3$

Notación: Sean $a\, \varepsilon \, I\! \! R,
\,\, b\, \varepsilon \,I\! \! R$. La expresión "$a>b$ o $a=b$" usualmente se escribe $a \geq b$.

La expresión "$a \geq b$" se lee a es mayor o igual que b.
 

Observación: sean $a\, \varepsilon \, I\! \! R,
\,\, b\, \varepsilon \,I\! \! R$. Para que "$a \geq b$" sea verdadera basta con que se cumpla una de las siguientes condiciones:

  1. $a>b$

  2. $a=b$

Ejemplo


a.) $3\geq -2$ es verdadera pues $3>-2$
b.) $-2\geq 0$ es falsa pues no se cumple que $-2>0$ ni $-2=0$
c.) $6\geq 6$ s verdadera pues $6=6$

 



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