Lic. Elsie Hernández S.

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Definición de límites laterales o unilaterales

 

 

Definición de límite por la derecha

 

Se dice que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a^{+}}}{f(x)}=L}$ si y solo si para cada $\varepsilon >0$ existe $\delta
>0$ tal que si $0<x-a<\delta$ entonces $\vert f(x)-L\vert<\varepsilon \;\; L$ es el límite por la derecha de $f(x)$ en "a".

 

 

 

Observe que no hay barras de valor absoluto alrededor de $x-a$, pues $x-a$ es mayor que cero ya que $x>a$.


 

Definición de límite por la izquierda

 

Se dice que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a^{-}}}{f(x)}=R}$ si y solo si para cada $\varepsilon >0$ existe $\delta
>0$ tal que si $0<a-x<\delta$ entonces $\vert f(x)-R\vert<\varepsilon\cdot R$ es el límite por la izquierda de $f(x)$ en "a".

 

 

Note que la expresión $a-x$ es mayor que cero, pues $x\rightarrow a^{-}$ por lo que $x<a$.

En adelante determinaremos los límites laterales a partir de la representación gráfica de una función cuya ecuación se da.

Ejemplo:

Determinar los límites, en los puntos de discontinuidad, de la función $f$ definida por:

$f(x)=\left\{ \begin{array}{ccc}
x+2 & \mbox{si} & x\geq 1 \\
-x^{2}-1 & \mbox{si} & x<1
\end{array}\right.$

Primero hagamos la gráfica de la función:

 

El punto de discontinuidad se presenta cuando $x=1$

Luego: $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{1^{+}}}{f(x)}=3}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{1^{-}}}{f(x)}=-2}$

Observe que el límite por la derecha (3), es diferente al límite por la izquierda (2).

Ejercicio:

Represente la función $h$ definida por $h(x)=\left\{
\begin{array}{ccc}
x-1 & \mbox{si} & x<0 \\
x+1 & \mbox{si} & x>0
\end{array}\right.$

y determine los límites laterales en el punto de discontinuidad.

Es posible demostrar que para que exista $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}}$ es necesario y suficiente que los límites laterales existan y sean iguales.

Es decir, $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}=L}$ si y solo si $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a^{+}}}{f(x)}=L}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a^{-}}}{f(x)}=L}$

Por consiguiente, si $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a^{+}}}{f(x)}}$ es diferente de $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a^{-}}}{f(x)}}$ se dice que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{a}}{f(x)}}$ no existe.

Ejemplo:

Representemos gráficamente la función definida por:

$f(x)=\left\{
\begin{array}{ccc}
x^{2}-2 & \mbox{si} & x<2 \\
x & \mbox{si} & 2<x<4 \\
4-x & \mbox{si} & x\geq 4
\end{array}\right.$

 

Como $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{+}}}{f(x)}=2}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2^{-}}}{f(x)}=2}$, entonces $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{f(x)}=2}$

Como $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{4^{+}}}{f(x)}=0}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{4^{-}}}{f(x)}=4}$, entonces $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{4}}{f(x)}}$ no existe.

Ejercicio:

Considere la representación gráfica de la función $g$ definida por:

$f(x)=\left\{
\begin{array}{ccc}
\sqrt{-x-1} & \mbox{si} & x\leq -2 \\
x+3 & ...
...& \mbox{si} & 1\leq x\leq 3 \\
(x-4)^{2} & \mbox{si} & x>3
\end{array}\right.$

Determine si existen cada uno de los límites siguientes:

a.$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{-2}}{g(x)}}$

b.$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{1}}{g(x)}}$

c.$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{3}}{g(x)}}$

d.$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{4}}{g(x)}}$

e.$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0}}{g(x)}}$

 



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