Lic. Elsie Hernández S.

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Límites que involucran funciones trigonométricas

Estudiaremos aquí los límites de las funciones seno y coseno, y algunos límites especiales que no pueden resolverse por los procedimientos ya estudiados.

Vamos a probar que:


a.   $\displaystyle {\lim_{\alpha \rightarrow{0}}{sen\;\alpha}=0\;\;\mbox{y}\;\;\lim_{\alpha \rightarrow{0}}{cos\;\alpha}=1}$ donde $\alpha$ es un ángulo que se mide en radianes.
 
Recordemos que la medida en radianes de un ángulo se define por la igualdad siguiente: $\displaystyle {\theta=\frac{s}{r}}$, donde $s$ el la longitud del arco interceptado por el ángulo, sobre una circunferencia de radio $r$, cuyo centro coincide con el vértice del ángulo, como se muestra en la siguiente figura:

 

$s$ es la medida del arco $AB$
$r$ es el radio del círculo

Consideramos ahora un círculo de radio uno y un ángulo agudo $AOP$ cuya medida en radianes es $\alpha$

 

En este caso como $r=1$ se tiene que $\alpha=\displaystyle {\frac{s}{1}}$ por lo que $\alpha = s$

El triángulo $PQA$ es rectángulo y sus catetos $PQ\;\;\mbox{y}\;\;QA$ miden respectivamente $sen\;\alpha
\;\;\mbox{y}\;\;1-cos\;\alpha$ (Note que $OQ=cos\;\alpha$).

Por el teorema de Pitágoras se obtiene que:


Como la longitud de $PA$ es menor que la longitud del arco $AP$, es decir, es menor que $\alpha$, se tiene que:

$(sen\;\alpha)^{2}+(1-cos\;\alpha)^{2}<\alpha ^{2}$

Como los dos sumandos del primer miembro de la desigualdad anterior son positivos, entonces cada uno de ellos es menor que la suma de ambos, por lo que:

$sen^{2}\;\alpha< (AP)^{2}\;\;\mbox{y}\;\;(1-cos\;\alpha)^{2}<(PA) ^{2}$

y como $(AP)^{2}< \alpha ^{2}$ entonces:

$sen^{2}\;\alpha< \alpha^{2}\;\;\mbox{y}\;\;(1-cos\;\alpha)^{2}<\alpha^{2}$

de donde $\vert sen\;\alpha\vert<\vert\alpha\vert\;\;\mbox{y}\;\;\vert 1-cos\;\alpha\vert<\vert\alpha\vert$

Si $\varepsilon$ es un número positivo, podemos tomar $\delta
=\varepsilon$ de tal forma que $\vert sen\;\alpha\vert<\vert\alpha\vert<\varepsilon\;\;\mbox{y}\;\;\vert 1-cos\;\alpha\vert<\vert\alpha\vert<\varepsilon$ siempre que $0<\vert\alpha\vert<\delta$.

De otra manera: $\vert sen\;\alpha - 0\vert<\varepsilon$ siempre que $0<\vert\alpha -0\vert<\delta$ por lo que $\displaystyle {\lim_{\alpha \rightarrow{0}}{sen\;\alpha}=0}$, y similarmente, $\vert cos\;\alpha -1\vert<\varepsilon$ siempre que $0<\vert\alpha -0\vert<\delta$ por lo que $\displaystyle {\lim_{\alpha \rightarrow{0}}{cos\;\alpha}=1}$

De esta forma hemos probado los dos límites.

b.
Vamos a probar ahora que $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{sen\;x}{x}}=1}$

Observe que este límite no puede resolverse por los procedimientos ya estudiados de factorización, racionalización o cambio de variable, y que al evaluar directamente se obtiene la forma $\displaystyle {\frac{0}{0}}$.

Consideremos nuevamente un círculo unitario y designemos por $x$ el ángulo central $MOB$ (siendo en radianes su medida), con $0<x<\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$, como se muestra en la figura siguiente:

 
 

Puede observarse que: el área del $\bigtriangleup MOA<$ el área del sector $MOA<$ el área del $\bigtriangleup COA$ (1). Además se tiene que:

el área del $\bigtriangleup
MOA=\displaystyle {\frac{1}{2}\;\overline{OA}\cdot
\overline{MB}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot sen\;x=\frac{sen\;x}{2}}$.

el área del sector $MOA=\displaystyle {\frac{1}{2}\;\overline{OA}\widehat{OM}=\frac{1}{2}\cdot
1\cdot x = \frac{x}{2}}$

el área del $\bigtriangleup
COA=\displaystyle {\frac{1}{2}\;\overline{OA}\;\overline{AC}=\frac{1}{2}\cdot
1\cdot tan\;x =\frac{tan\;x}{2}}$

Sustituyendo en (1):

$\displaystyle {\frac{sen\;x}{2}<\frac{x}{2}<\frac{tan\;x}{2}}$ de donde $sen\;x\;<\;x<\;tan\;x$
Como $x\;\in\; \left]0,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right[$ entonces $sen\;x\;>0$, por lo que podemos dividir los términos de la desigualdad anterior por $sen\;x$, sin alternar el sentido de la desigualdad, obteniendo entonces que:

$\displaystyle {1<\frac{x}{sen\;x}<\frac{1}{cos\;x}}$ por lo que $\displaystyle {cos\;x<\frac{sen\;x}{x}<1}$

Esta última desigualdad también es válida cuando pues $\displaystyle {\frac{sen\;(-x)}{-x}=\frac{-sen\;x}{-x}=\frac{sen\;x}{x}}$ y además $cos\;(-x)=cos\;x$

Como $cos\;x<\displaystyle {\frac{sen\;x}{x}<1}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0}}{cos\;x}=1}$ y $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0}}{1}=1}$, aplicando el teorema 11 se concluye que:

$\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{sen\;x}{x}}=1}$

Ejemplos:

  1. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{sen\;6x}{6x}}=1}$

  2. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{sen\;3x}{x}}}$

    Observe que en este caso el argumento es $3x$, por lo que en el denominador se necesita también la expresión $3x$, de ahí que se lleve a cabo el siguiente procedimiento:

    $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{sen\;3x}{x}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0}}{3\cdot \frac{sen\;3x}{3x}}}$

    $=\displaystyle {3\cdot\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{sen\;3x}{3x}}=3\cdot 1=3}$

  3. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{1}}{\frac{sen\;(x-1)}{(x-1)}}=1}$ pues $x-1\rightarrow
0$ cuando $x\rightarrow 1$

  4. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{2}}{\frac{sen\;(x-2)}{(3x-6)}}=\lim_{x \rightarrow{2}}{\frac{sen\;(x-2)}{3(x-2)}}}$

    $=\displaystyle {\frac{1}{3}\lim_{x \rightarrow{2}}{\frac{sen\;(x-2)}{(x-2)}}=\frac{1}{3}\cdot
1=\frac{1}{3}}$

  5. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{sen\;\frac{x}{2}}{x}}=\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{sen\;\frac{x}{2}}{2\cdot\frac{x}{2}}}}$

    $=\displaystyle {\frac{1}{2}\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{sen\;\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}}=\frac{1}{2}\cdot
1 =\frac{1}{2}}$

  6. Ejercicio

    $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{sen^{2}\;\frac{x}{3}}{x^{2}}}}$  

  7. Ejercicio

    $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{1}}{\frac{sen\;(1-x)}{\sqrt{x}-1}}}$  

    En los siguientes ejemplos utilizaremos un procedimiento común en algunos límites trigonométricos y que consiste en multiplicar por el conjugado de una expresión.

  8. $\displaystyle {\lim_{y \rightarrow{0}}{\frac{1-cos\;y}{y}}}$

    Multiplicamos por el conjugado de $1-cos\;y$ que es $1+cos\;y$ como sigue:

    $=\displaystyle {\lim_{y \rightarrow{0}}{\left(\frac{1-cos\;y}{y}\cdot
\frac{1+cos\;y}{1+cos\;y}\right)}}$

    $=\displaystyle {\lim_{y \rightarrow{0}}{\frac{1-cos^{2}\;y}{y(1+cos\;y)}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{y \rightarrow{0}}{\frac{sen^{2}x}{y(1+cos\;y)}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{y \rightarrow{0}}{\frac{sen\;y}{y}\cdot\lim_{y \rightarrow{0}}{\frac{sen\;y}{1+cos\;y}}}=1\cdot
\frac{0}{1+1} =0}$

  9. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{tan\;x-sen\;x}{x^{3}}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{\frac{sen\;x}{cos\;x}-sen\;x}{x^{3}}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{sen\;x-sen\;x\;cos\;x}{x^{3}cos\;x}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{sen\;x(1-cos\;x)}{x^{3}cos\;x}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{sen\;x(1-cos\;x)}{x^{3}cos\;x}}\cdot \frac{1+cos\;x}{1+cos\;x}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{sen\;x(1-cos^{2}\;x)}{x^{3}cos\;x(1+cos\;x)}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{sen^{3}x}{x^{3}cos\;x(1+cos\;x)}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0}}{\left(\frac{sen\;x}{x}\right)^{3}}\cdot \lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{1}{cos\;x(1+cos\;x)}}}$

    $=1^{3}\cdot \displaystyle {\frac{1}{1(1+1)}=\frac{1}{2}}$

  10. $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{\frac{\pi}{3}}}{\frac{sen\;(x-\frac{\pi}{3})}{1-2cos\;x}}}$

    Como $cos\;\displaystyle {\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}}$ entonces $1-2cos\;x\rightarrow 0$ cuando $x\rightarrow
\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$.

    Además $\displaystyle sen(x-{\frac{\pi}{3})\rightarrow
0\;\;\mbox{cuando}\;\;x\rightarrow \frac{\pi}{3}}$

    Desarrollemos $\displaystyle {sen\;(x-\frac{\pi}{3})}$:

    $\displaystyle {sen\;(x-\frac{\pi}{3})=sen\;x\;cos\;\frac{\pi}{3}-sen\;\frac{\pi}{3}\;con\;x}$

    $\displaystyle {=\frac{1}{2}\;sen\;x-\frac{\sqrt{3}}{2}\;cos\;x=\frac{sen\;x-\sqrt{3}cos\;x}{2}}$

    Luego:

    $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{\frac{\pi}{3}}}{\frac{sen\;(x-\frac{\pi}{3})}{1-2cos\;x}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{\frac{\pi}{3}}}{\frac{sen\;x-\sqrt{3}cos\;x}{2(1-2cos\;x)}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{\frac{\pi}{3}}}{\frac{sen\;x-\sqrt{3}cos\;x...
...lim_{x \rightarrow{\pi}}{\frac{sen\;x+\sqrt{3}cos\;x}{sen\;x+\sqrt{3}cos\;x}}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{\frac{\pi}{3}}}{\frac{sen^{2}x-3cos^2x}{2(1-2cos\;x) (sen\;x+\sqrt{3}cos\;x)}}}$

    $=\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{\frac{\pi}{3}}}{\frac{1}{2(sen\;x+\sqrt{3}\...
...ot \lim_{x \rightarrow{\frac{\pi}{3}}}{\frac{1-cos^{2}x-3cos^{2}x}{1-2cos\;x}}}$

    $=\displaystyle {\frac{1}{2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}{}\right)}\cdot \lim_{x \rightarrow{\frac{\pi}{3}}}{\frac{1-4cos^{2}x}{1-2cos\;x}}}$

    $=\displaystyle {\frac{1}{2\sqrt{3}}\lim_{x \rightarrow{\frac{\pi}{3}}}{\frac{(1-2cos\;x)(1+2cos\;x)}{1-2cos\;x}}}$

    $=\displaystyle {\frac{1}{2\sqrt{3}}\lim_{x \rightarrow{\frac{\pi}{3}}}{1+2cos\;x}=\frac{1}{2\sqrt{3}}\cdot \left(1+2\cdot\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2\sqrt{3}}}$

  11. Ejercicio

    $\displaystyle {\lim_{\theta \rightarrow{0}}{\frac{sec\;2\theta\;tan\;3\theta}{5\theta}}}$  

  12. Ejercicio

           $\displaystyle {\lim_{x \rightarrow{0}}{\frac{x\;sen\;x}{1-cos\;x}}}$ 

 


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