Lic. Elsie Hernández S.

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Resolución de problemas de máximos y mínimos:

En la resolución de problemas en que se debe determinar el máximo o el mínimo de una cierta expresión, deben seguirse los siguientes pasos:

  • Determinar la magnitud que debe hacerse máxima o mínima, y asignarle una letra.
  • Hacer un dibujo cuando sea necesario.
  • Asignar una letra a las cantidades mencionadas en el problema y escribir una ecuación en la que se establezca lo que se debe hacer máximo o mínimo.
  • Establecer las condiciones auxiliares del problema y formar una ecuación (ecuación auxiliar)
  • Expresar la cantidad que debe maximizarse o minimizarse en términos de una sola variable utilizando para ello la ecuación auxiliar. Determinar el dominio de esta función.
  • Obtener la primera derivada de esta función para determinar los valores críticos.
  • Comprobar, utilizando el criterio de la primera derivada o el de la segunda derivada, si los valores críticos son máximos o mínimos.
  • Verificar que el valor obtenido cumple las condiciones dadas en el problema
  • Responder a la pregunta establecida en el enunciado del problema.

  • En algunos problemas hay que utilizar diversas figuras geométricas por lo que a continuación se especifican algunas de ellas junto con las respectivas fórmulas sobre áreas y volúmenes:

 

1.
Círculo de radio r con centro en $(0,0)$
Ecuación: $x^2+y^2=r^2$
Circunferencia: $2\pi r$
Área: $\pi r^2$

2.
Sector circular;
Área: $\displaystyle\frac{1}{2}r^2$ $\theta$ donde $\theta$ es el ángulo central medio en radianes.

Área: $\displaystyle\frac{rs}{2}$ donde s es la longitud del arco AB

3.
Trapecio

Área: $\displaystyle\frac{(B+b)}{2}\cdot h$, donde B es la longitud de la base mayor, b es la de la base menor y h es la altura del trapecio.
 
4.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cilindro circular recto de altura h y radio de la base r.
Volumen: $\pi r^2h$
Área lateral: $2 \pi rh$
Área total: $2 \pi rh + 2 \pi r^2$

5.

Cono circular recto de altura h y radio de la base r.
Volumen: $\displaystyle\frac{\pi r^2h}{3}$
Superficie lateral: $\pi r$. L donde L es la generatriz está dada por:
$L=\sqrt{r^2+h^2}$

6.
Esfera de radio r.
Volumen: $\displaystyle\frac{4}{3} r^3 \pi$

Superficie: $4\pi r^2$

 

c.
Ejemplos:


1.
Determinar dos números no negativos cuya suma sea 10 y cuyo producto tenga el mayor valor posible.

Solución:

Se debe de maximizar el producto P de dos números positivos.

Sean estos números: x, y

Luego $P=xy$

Como la suma de esos números es 10, entonces $x+y=10$ es la ecuación auxiliar, de donde $y=10-x$.

Entonces: $P(x)=x(10-x)=10x-x^2$

Se debe de determinar el valor de x que hace máxima la función $P(x)$

Derivando: $P'(x)=10-2x$

Valores críticos: $P'(x)=0 \Leftrightarrow 10 -2x =0 \Leftrightarrow x-5$

En $x=5$ se tiene un valor crítico, y se debe estudiar si es un valor mínimo o un valor máximo.

Como $P''(x)=-2$ entonces $P''(x)=-2<0$ por lo que en $x=5$ se tiene un valor máximo.

Si $x=5$ entonces $y=10-5=5$. Luego, los números positivos cuyo producto es máximo y cuya suma es 10 son ambos iguales a 5.

2.
Un rectángulo tiene 120 m. de perímetro. Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo que dan el área máxima?

Solución:

Se debe maximizar el área A de un rectángulo:

Designemos con "x", "y" las longitudes de los lados del rectángulo.
Luego $A=xy$

Como el perímetro del rectángulo es 120 m. entonces la ecuación auxiliar es: $2x+2y=120$ de donde $y=60-x$.

Luego $A(x)=x(60-x)=60x-x^2$

Como $A'(x)=60-2x$ y $A'(x)=0 \Leftrightarrow x=30$ entonces $x=30$ es un valor crítico.

Analicemos si este valor es máximo o mínimo utilizando el criterio de la segunda derivada.

Como $A''(x)=-2x$ y $A''(30)=-2(30)=-60<0$, entonces $x=30$ es un valor máximo.

Si $x=30$ entonces $y=30$ por lo que un cuadrado de lado 30 es el rectángulo de mayor área y perímetro 120m.

3.
Una recta variable que pasa por el punto $(1,2)$ corta al eje X en $A(a,0)$ y al eje Y en $B(0,b)$. Hallar el área del triángulo $AOB$ de superficie mínima, suponiendo A y B positivos.

Solución:

Se debe minimizar el área T de un triángulo.

Gráficamente se tiene:
 

El triángulo es rectángulo y su área está dada por $T=\displaystyle\frac{ab}{2}$

La recta pasa por los puntos $(0,b)$,$(1,2)$ y $(a,0)$, por lo que la pendiente está dada como sigue:


i.
Tomando $(0,b)$ y $(1,2)$: $m=\displaystyle\frac{2-b}{1-0}=2-b$
ii.
Tomando $(1,2)$ y $(a,0)$: $m=\displaystyle\frac{2-0}{1-a}=\displaystyle\frac{2}{1-a}$
Luego: $2-b=\displaystyle\frac{2}{1-a}$ es la ecuación auxiliar, de donde $b=2-\displaystyle\frac{2}{1-a}$ (*)

Entonces $T(a)=\displaystyle{\frac{a}{2}(2-\frac{2}{1-a})=a-\frac{a}{1-a}=\frac{a-a^2-a}{1-a}=\frac{-a^2}{1-a}=\frac{-a^2}{-(a-1)}}$

$T(a)=\displaystyle\frac{a^2}{a-1}$, $a\neq 1$

Como $T'(a)=\displaystyle{\frac{a^2-2a}{(a-1)^2}=\frac{a(a-2)}{(a-1)^2}}$ entonces

$T'(a)=0 \Leftrightarrow a(a-2)=0 \Leftrightarrow a=0$ ó $a=2$

Determinemos, utilizando el criterio de la primera derivada si los valores críticos son máximos o mínimos:


Del cuadro anterior, como T decrece para $a \in ]0,2[$ y crece para $a \in ]2, +\infty[$ entonces en $a=2$ se tiene un valor mínimo.

Si $a=2$ entonces $b=4$ (al sustituir en (*))

Luego el área del triángulo es $T=\displaystyle\frac{2\cdot4}{2}=4$

Además, la ecuación de la recta es $y=-2x+4$


4.
Una ventana tiene forma de rectángulo, culminando en la parte superior con un triángulo equilátero. El perímetro de la ventana es de 3 metros. Cuál debe ser la longitud de la base del rectángulo para que la ventana tenga el área máxima?

Solución:

En este caso se debe maximizar el área de la siguiente figura geométrica:

Se han señalado con las letras "x","y" las longitudes de los lados de la ventana.



El área de la ventana está dada por la suma de las áreas del triángulo y del rectángulo.

Área del triángulo: $\displaystyle\frac{x\cdot h}{2}$

Área del rectángulo: $xy$

Área total: $A=xy+\displaystyle\frac{xh}{2}$

Como el perímetro de la ventana es 3 metros entonces: $2y+3x=3$ de donde $y=\displaystyle\frac{3-3x}{2}$ es una ecuación auxiliar.

Luego: $A=x(\displaystyle\frac{3-3x}{2})+\displaystyle\frac{xh}{2}$. Debemos escribir h también en términos de x.

Se tiene en el triángulo:

$ h^2 + \left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)^2=x^2$
$h^2=x^2-\displaystyle\frac{x^2}{4}=\displaystyle\frac{3}{4}x^2$

$h= \displaystyle\frac{\sqrt{3}x}{2}$,$h>0$



Luego: $A(x)=\displaystyle{\frac{1}{2}(3x-3x^2)+\frac{x}{2} \cdot
\frac{\sqrt{3}}{2}x}$

$A(x)=\displaystyle{\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}x^2+\frac{\sqrt{3}}{4}x^2}$

Determinamos los valores críticos $A'(x)=\displaystyle{\frac{3}{2}-3x+\frac{\sqrt{3}}{2}x}$
Luego: $A'(x)=0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{3}{2}-3x+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}x=0$


$\Leftrightarrow \displaystyle\frac{3}{2} + x\left(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}-3\right)=0$


$\Leftrightarrow \displaystyle{x=\frac{-\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}-3}} \Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{3}{6-\sqrt{3}}$


El valor crítico es $x=\displaystyle\frac{3}{6-\sqrt{3}}$


Utilizando el criterio de la segunda derivada se tiene que

$A''(x)=-3 + \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}$, y , $A''\left(\displaystyle\frac{3}{6-\sqrt{3}}\right)=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}-3
< 0$

de donde $x=\displaystyle\frac{3}{6-\sqrt{3}}$ es un valor máximo.

Luego, la longitud de la base del rectángulo debe ser $\displaystyle\frac{3}{6-\sqrt{3}}$ para que la ventana tenga el área máxima.
La altura del rectángulo debe ser: $\displaystyle\frac{9-\sqrt{3}}{12-2\sqrt{3}}$ y el lado del triángulo es $\displaystyle\frac{3}{6-\sqrt{3}}$.

5.
Un faro se encuentra ubicado en un punto A, situado a 5 Km. del punto más cercano O de una costa recta. En un punto B, también en la costa y a 6 Km. de O, hay una tienda. Si el guardafaros puede remar a $2 km/h$, y puede cambiar a $4 km/h$, dónde debe desembarcar en la costa,  para ir del faro a la tienda en el menor tiempo posible?

Solución:

Se debe minimizar el tiempo de recorrido

Gráficamente la situación es la siguiente:
 


Sea C el punto de la playa en el que desemboca el guarda faros, designemos con x la distancia $OC$.

$d_{1}$ es la distancia en que debe remar desde A hasta C

$d_{2}$ es la distancia en que debe caminar desde C hasta B

Note que $d_{1}=\sqrt{25+x^2}$ y $d_{2}=6-x$

Además se tiene que la distancia S recorrida en un tiempo t es igual a la velocidad por el tiempo: o sea;

$S=v\cdot t$ de donde $t=\displaystyle\frac{s}{v}$.

La distancia $d_{1}$ es recorrida con una velocidad de $2 km/h$, y la distancia $d_{2}$ con una velocidad de $4 km/h$, por lo que el tiempo total de recorrido será:

$t=\displaystyle{\frac{d_{1}}{2}+\frac{d_{2}}{4}=\frac{\sqrt{25+x^2}}{2}+\frac{6-x}{4}}$ siendo esta la función a minimizar.

Luego: $t'(x)=\displaystyle{\frac{x}{\sqrt{25+x^2}}-\frac{1}{4}=\frac{4x-\sqrt{25+x^2}}{4\sqrt{25+x^2}}}$

Para determinar los valores críticos hacemos $t'(x)=0$

$t'(x)=0 \Leftrightarrow 4x -\sqrt{25+x^2} =0 \Leftrightarrow 16x^2=25+x^2$

$ \Leftrightarrow 15x^2=25 \Leftrightarrow x^2=\displaystyle\frac{5}{3}\Leftrightarrow x=\sqrt{\displaystyle\frac{5}{3}}$

Utilicemos el criterio de la segunda derivada para determinar si el valor crítico es un mínimo.


$t''(x)=\displaystyle\frac{25}{(25+x^2)^\frac{3}{2}}$, evaluando en $x=\sqrt{\displaystyle\frac{5}{3}}$ se obtiene


$t''\left(\sqrt{\displaystyle\frac{5}{3}}\right)=\displaystyle\frac{25}{\left(\displaystyle\frac{80}{3}\right)^\frac{3}{2}}>0$ por lo que $x=\sqrt{\displaystyle\frac{5}{3}}$ es un valor mínimo.

Luego, el guarda faros debe desembarcar en un punto C que está a $\sqrt{\displaystyle\frac{5}{3}}$ Km. de punto C, para llegar a la tienda en el menor tiempo posible.

6.
Determinar las dimensiones del cono de mayor área lateral que puede inscribirse en un cono circular recto de radio 1cm y altura 3cm, como se muestra en la figura siguiente:

Solución:

Hay que maximizar el área lateral del cono inscrito.

Las dimensiones de éste son: x radio de la base, h altura y se especifican en la figura de la siguiente manera:


El área lateral de un cono es $A=\pi \, x \, L$.



Una ecuación auxiliar se puede obtener por medio de semejanza de triángulos de la siguiente forma:

Además $L=\sqrt{h^2+x^2}=\sqrt{(3-3x)^2+x^2}=\sqrt{10x^2-18x+9}$

Sustituyendo en la ecuación del área lateral

 

Determinemos los puntos críticos:

$A'(x)=\pi \sqrt{10x^2-18x+9} + \displaystyle\frac{\pi
x(10x-9)}{\sqrt{10x^2-18x+9}}$

$A'(x)=\displaystyle{\frac{\pi
(20x^2-27x+9)}{\sqrt{10x^2-18x+9}}=\frac{\pi
(4x-3)(5x-3)}{\sqrt{10x^2-18x+9}}}$

$A'(x)=0 \Leftrightarrow (4x-3)(5x-3)=0 \Leftrightarrow
x=\displaystyle\frac{3}{4}$, ó $x=\displaystyle\frac{3}{5}$


Por lo tanto, los valores críticos son $x=\displaystyle\frac{3}{4}$y $x=\displaystyle\frac{3}{5}$


Determinemos cuál de esos valores es un valor máximo utilizando el criterio de la primera derivada.

Como $A(x)$ crece para $x \in
\left]-\infty,\displaystyle\frac{3}{5}\right[$ y decrece para $x
\in \left]\displaystyle\frac{3}{5},
\displaystyle\frac{3}{4}\right[$ entonces $x=\displaystyle\frac{3}{5}$ es un valor máximo.

Como $A(x)$ decrece para $x
\in \left]\displaystyle\frac{3}{5},
\displaystyle\frac{3}{4}\right[$ y crece para $x \in
\left]\displaystyle\frac{3}{4}, +\infty\right[$ entonces $x=\displaystyle\frac{3}{4}$ es un valor mínimo.

Luego el valor que nos interesa es $x=\displaystyle\frac{3}{5}$

Por lo tanto, el radio de la base del cono inscrito es $x=\displaystyle\frac{3}{5}$ cm., y la altura es $h=\displaystyle\frac{6}{5}$cm.

7.
Determinar las dimensiones del cono de volumen mínimo circunscrito a una semiesfera de radio R, de tal forma que el plano de la base del cono coincida con el de la semiesfera.

Solución:

Hay que minimizar el volumen del cono circunscrito.

Si el radio de la base del cono es x y su altura es h, su volumen está dado por: $V=\displaystyle\frac{\pi}{3}x^2 h$

Gráficamente se tiene:
 
 
Haciendo un corte transversal se tiene:


 

Podemos utilizar semejanza de triángulo para obtener una ecuación auxiliar:


 
$\triangle ABC \sim \triangle ABD $

$\displaystyle{\frac{R}{x}=\frac{\sqrt{h^2-R^2}}{h}}$
de donde $x=\displaystyle\frac{hR}{\sqrt{h^2-R^2}}$

 




Sustituyendo en la ecuación del volumen del cono:

$V=\displaystyle{\frac{\pi}{3}x^2h=\frac{\pi}{3}\frac{hR^2}{\sqrt{h^2-R^2}}
\cdot h= \frac{\pi R^2}{3} \cdot \frac{h^3}{h^2-R^2}}$

$V'(h)=\displaystyle{\frac{\pi R^2}{3}\cdot
\frac{h^2(h^2-3R^2)}{(h^2-R^2)^2}=\frac{\pi R^2}{3}\cdot
\frac{h^2(h-\sqrt{3}R)(h+\sqrt{3}R)}{(h^2-R^2)^2}}$

Utilizando el criterio de la primera derivada, analicemos cuál valor crítico corresponde a un valor mínimo:

Como $V(h)$ decrece para $x \in ]0,\sqrt{3}R[$ y crece para $x
\in ]\sqrt{3}R, +\infty[$ entonces $h=\sqrt{3}R$ corresponde a un valor mínimo que era lo que nos interesaba. Luego, las dimensiones del cono circunscrito a la esfera son: radio de la base $x = \displaystyle\frac{R\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$, altura $h=\sqrt{3}R$



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