Lic. Elsie Hernández S.

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Trazo de curvas

La teoría estudiada hasta ahora sobre máximos y mínimos de una función, será aplicada tanto en la resolución de problemas como en el trazo de la gráfica de una curva. Para este último aspecto nos hace falta estudiar las asíntotas de una curva, tema que veremos a continuación para pasar luego al trazo de curvas y por último a la resolución de problemas.

Asíntotas

Dada una curva con ecuación $y=f(x)$ es necesario estudiar la variación de la función cuando la abscisa y la ordenada de un punto cualquiera de la curva tiende al infinito.


  Definición 
  Cuando el punto $P(x,y)$ de una curva se desplaza a lo largo de ella, de tal forma que su distancia   al origen tienda a infinito, puede suceder que la distancia de P a una recta fija, tienda a cero. Esta recta recibe el nombre de asíntota de la curva.

 

Gráficamente:

 

Asíntota horizontal:

Sea la función con ecuación $y=f(x)$

Si $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{f(x)}}=b$ ó $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {-\infty}}{f(x)}}=b$, entonces la recta con ecuación $y=b$ es una asíntota horizontal de la gráfica de f.

Ejemplo:

  1. Sea $y=\displaystyle\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$ la ecuación de una curva.
    Como: $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{\displaystyle\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}...
...rrow {+\infty}}{\displaystyle\frac{2}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x^2}}}}}}=2$

    entonces la recta con ecuación $y=2$ es una asíntota horizontal de la curva.
  2. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {-\infty}}{\displaystyle\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}...
...row {-\infty}}{\displaystyle\frac{-2}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x^2}}}}}=-2$

    entonces la recta con ecuación $y=-2$ es una asíntota horizontal de la curva.
Gráficamente se tiene:

 

 

Asíntota vertical:

La recta con ecuación $x=a$ es una asíntota vertical de la gráfica de una función con ecuación $y=f(x)$, si se cumple alguna de las siguientes condiciones.

i. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {a^+}}{f'(x)}}= +\infty$ iii. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {a^-}}{f(x)}}=
+\infty$
   
ii. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {a^+}}{f(x)}}= -\infty$ iv. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {a^-}}{f(x)}}= -\infty$



Si la recta con ecuación $x=a$ es una asíntota vertical de la gráfica de una función f, entonces f es discontinua en "a".

Ejemplo:

Sea $y=\displaystyle\frac{2}{3-x}$ la ecuación de una curva. 

Observe que el dominio es el conjunto: $I \! \! R- \{3\}$

Como $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {3^+}}{\displaystyle\frac{2}{3-x}}}= -\infty$ y $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {3^-}}{\displaystyle\frac{2}{3-x}}}= +\infty$

entonces la recta con ecuación $x=3$ es una asíntota vertical de la gráfica de la curva.

Gráficamente:


Note que la recta con ecuación $y=0$, (eje x), es asíntota horizontal de la curva.

Asíntota oblicua

Si los límites: $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{\displaystyle\frac{f(x)}{x}}}=
m$ y $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{f(x) -mx}}= b$
existen, entonces la recta con ecuación $y=mx+b$ es una asíntota oblicua. (La justificación aparece al final del capítulo)


Ejemplo:

La curva con ecuación $f(x)=4x + \displaystyle\frac{1}{x} -1$ posee asíntota oblicua pues:

a. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{\displaystyle\frac{f(x)}{x}}}=
\dis...
...infty}}{\left(4+\displaystyle\frac{1}{x^2}-\displaystyle\frac{1}{x}\right)}}=
4$,

de donde $m = 4$
b.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{f(x)-mx}}=\displaystyle{\lim_{x\rig...
...yle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{\left(\displaystyle\frac{1}{x}-1\right)}}=
-1$,

de donde $b =-1$

 

Así la ecuación de la asíntota es $y=4x-1$

La representación gráfica es la siguiente:

 
Note que la recta con ecuación $x=0$, (eje y), es asíntota vertical de la curva.

Especificaremos ahora los pasos a seguir para hacer el análisis y la gráfica de una función f cuya ecuación se da.
  1. Calcular el dominio de f. $(D_{f})$
  2. Averiguar las intersecciones con los ejes coordenados.

    Si $y=f(x)$ es la ecuación de la curva, los puntos de intersección con el eje x se determinan resolviendo la ecuación $f(x)=0$, los puntos de intersección con el eje Y se calculan dándole a x el valor cero.

  3. Sentido de variación

    Se hace el estudio de la primera derivada.
     
    a. Se calcula $f'(x)$
    b. Para determinar los valores críticos se resuelve $f'(x)=0$
    c. Para determinar los intervalos en que f crece y en los que decrece se resuelven las desigualdades $f'(x)>0$, y, $f'(x)<0$
     
     
     
     
  4. Estudio de la segunda derivada de f.
     
    a. Se calcula $f''(x)$
    b. Se determinan los puntos de inflexión resolviendo $f''(x)=0$
    c. Para determinar los intervalos en que f es cóncava hacia arriba y en los que es cóncava hacia abajo, se resuelven las desigualdades $f''(x)>0$ y $f''(x)<0$
     
    Los puntos máximos y los puntos mínimos se pueden establecer ya sea utilizando el criterio de la primera derivada o el de la segunda derivada.
     
     
  5. Estudio de los límites

    Se calculan los siguientes límites: $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{f(x)}}$, $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {-\infty}}{f(x)}}$

    $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {a^+}}{f(x)}}$ y $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {a^-}}{f(x)}}$ donde $a
\not\in D_{f}$
  6. Estudio de las asíntotas: Se determina si la curva posee asíntotas verticales, horizontales u oblicuas.

 

  1. Se hace el cuadro de variación. Este es un cuadro en el que se resume todo el análisis anterior.

 

  1. Gráfica de la función. Con los datos señalados en el cuadro de variación se dibuja la gráfica de $f(x)$.
Ejemplos:


Hacer el análisis, cuadro de variación y gráfica de la curva con ecuación:

a.
$f(x)=\displaystyle\frac{x^2}{x^2-1}$
  1. Dominio: $D_{f}: I \! \! R-\{-1,1\}$
  2. Intersección con los ejes:

    $f(x)=0 \Leftrightarrow x^2=0 \Leftrightarrow x=0$, luego $(0,0)$ es el punto de intersección con el eje Y, y con el eje X.

  3. Sentido de variación:
    i.
    $f'(x)=\displaystyle\frac{-2x}{(x^2-1)^2}$

    Como $(x^2-1)^2$ es positivo para $x \in D_{f}$, basta con analizar el numerador.
    ii.
    $f'(x)=0 \Leftrightarrow -2x =0 \Leftrightarrow x=0$ valor crítico.
    iii.
    $f'(x)>0 \Leftrightarrow -2x >0
\Leftrightarrow x<0$; luego f crece si $x \in ]-\infty,0[$
    iv.
    $f'(x)<0 \Leftrightarrow -2x <0 \Leftrightarrow x>0$, luego f decrece si $x \in ]0,+\infty[$. De i. y iv. se deduce que $f(0)$ es un máximo relativo.
  4. Estudio de la segunda derivada:
    i.
    $f''(x) = \displaystyle\frac{6x^2+2}{(x-1)^3(x+1)^3}$
    ii.
    $f''(x) \neq 0$ para toda $x \not\in D_{f}$

    Para determinar si f es cóncava hacia arriba o hacia abajo se deben resolver las desigualdades $f''(x)>0$ y $f''(x)<0$ para lo que utilizamos la siguiente tabla.

     
    Como $f''(x)>0$ para $x \in ]-\infty,-1[\; \cup \; [1,+\infty[$ entonces f es cóncava hacia arriba en ese intervalo.

    Como $f''(x)<0$ para $x \in ]-1,1[$ entonces f es cóncava hacia abajo en ese intervalo.
  5. Estudio de los límites:

     

    a.
    $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{\displaystyle\frac{x^2}{x^2-1}}}=\d...
...{\displaystyle\frac{2x}{2x}}}=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{1}}=1$
    b.
    $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {-\infty}}{\displaystyle\frac{x^2}{x^2-1}}}=\d...
...{\displaystyle\frac{2x}{2x}}}=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {-\infty}}{1}}=1$
    c. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {1^+}}{\displaystyle\frac{x^2}{(x-1)(x+1)}}}=+\infty
\; \; \; (x>1 \Rightarrow x-1 > 0 \Rightarrow (x-1)\rightarrow 0
^+)$
    d. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {1^-}}{\displaystyle\frac{x^2}{(x-1)(x+1)}}}=-\infty
\; \; \; (x<1 \Rightarrow x-1 < 0 \Rightarrow (x-1)\rightarrow 0
^-)$
    e.
    $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {-1^+}}{\displaystyle\frac{x^2}{(x-1)(x+1)}}}=+\infty
\; \; \; (x>-1 \Rightarrow x+1 > 0 \Rightarrow (x+1)\rightarrow 0
^+)$
    f. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {-1^-}}{\displaystyle\frac{x^2}{(x-1)(x+1)}}}=+\infty
\; \; \; (x<-1 \Rightarrow x+1 < 0 \Rightarrow (x+1)\rightarrow 0
^-)$

  6. Asíntota:

    De a. y b. del punto anterior, la recta con ecuación $y=1$ es una asíntota horizontal.

    Del punto anterior también se obtiene que las rectas con ecuaciones $x=1$, $x=-1$ son asíntotas verticales.

    Como $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{\displaystyle\frac{f(x)}{x}}}=\disp...
...-1}}}=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{\displaystyle\frac{2}{6x}}}=0$

    pero: $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{f(x)-0.x}}=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{f(x)}}=1$ entonces la asíntota oblicua coincide con la asíntota horizontal.


  7. Cuadro de variación: resumen de lo estudiado

  8. Representación Gráfica:

     


b.
\begin{displaymath}f(x)= x \mbox{{ \Large\em e}}^{^{\displaystyle{ \frac{1}{x} }}}\end{displaymath}
  1. Dominio: $D_{f}:I \! \! R- \{0\}$
  2. Intersección con los ejes: para que la curva interseque al eje x se necesita que $f(x)=0$, pero esto sucede únicamente si $xe^\frac{1}{x}=0$, es decir, si $x=0$ pero $0\not\in D_{f}$ por lo que no hay intersección con el eje X.

    Para la intersección con el eje Y, x debe ser igual a cero, pero $0\not\in D_{f}$, por lo que tampoco hay intersección con el eje y.
  3. Sentido de variación: Estudio de la primera derivada,

    a

    a. \begin{displaymath}f^\prime (x)= \mbox{{ \Large\em e}}^{^{\displaystyle{ \frac{1}{x} }}}\frac{x-1}{x}\end{displaymath}
    b. $f'(x)=0 \Leftrightarrow x =1$
    c. Para determinar los intervalos en que crece o decrece la función debemos resolver $f'(x)>0$ y $f'(x)<0$

    Como \begin{displaymath}\mbox{{ \Large\em e}}^{^{\displaystyle{ \frac{1}{x} }}}\end{displaymath} es mayor que cero para $x \in D_{f}$, basta analizar el comportamiento de $\displaystyle\frac{x-1}{x}$. Para ello utilizamos el siguiente cuadro.

    Como $f'(x)>0$ para $x \in ]-\infty,0[ \;\cup \; ]1,+\infty[$ entonces f crece en ese intervalo.

    Como $f'(x)<0$ para $x \in ]0,1[$ entonces f decrece en ese intervalo.

    Además en $(1,f(1))$, hay un mínimo relativo.

     

  4. Estudio de la segunda derivada
    a. \begin{displaymath}f^{\prime \prime}(x)= \frac{ \mbox{{ \Large\em e}}^{^{\displaystyle{ \frac{1}{x} }}}}{x^3}\end{displaymath}
    b. $f''(x)\neq 0 \;\; \forall x \in D_{f}$
    c. $f''(x)>0 \Leftrightarrow x^3>0 \Leftrightarrow x>0$, luego f es cóncava hacia arriba si $x>0$
    d. $f''(x)<0 \Leftrightarrow x^3<0 \Leftrightarrow x<0$, luego f es cóncava hacia abajo si $x<0$

  5. Estudio de los límites

     

    a. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {0^+}}{x\;e^\frac{1}{x}}}$ (forma )

    Si $x\rightarrow0^+$ entonces $\displaystyle\frac{1}{x}\rightarrow +\infty$ y $e^\frac{1}{x}\rightarrow +\infty$, por lo que:

    $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {0^+}}{x\cdot
e^\frac{1}{x}}}=\displaystyle{\l...
...rightarrow {0^+}}{\displaystyle\frac{e^\frac{1}{x}}{\displaystyle\frac{1}{x}}}}$ (forma $\displaystyle\frac{\infty}{\infty}$ por lo que puede aplicarse la Regla de L'Hôpital)


    $=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {0^+}}{\displaystyle\frac{e^\frac{1}{x}\cdot \displaystyle\frac{-1}{x^2}}{\displaystyle\frac{-1}{x^2}}}}$


    $=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {0^+}}{e^\frac{1}{x}}}=+\infty$

     

    b.

     

    $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {0^-}}{x\cdot
e^\frac{1}{x}}}=0$, pues si $x\rightarrow 0^-$ entonces $\displaystyle\frac{1}{x} \rightarrow -\infty$ y $e^\frac{1}{x}
\rightarrow 0 \; \; \; x\rightarrow 0^-$
    c. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{x\cdot e^\frac{1}{x}}}=+\infty$

    Si $x\rightarrow +\infty$ entonces $\displaystyle\frac{1}{x} \rightarrow
0$ y $e^\frac{1}{x} \rightarrow 1$

     

    d. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {-\infty}}{x\cdot
e^\frac{1}{x}}}=-\infty$, pues $\displaystyle\frac{1}{x} \rightarrow
0$ y $e^\frac{1}{x} \rightarrow 1$

     

  6. Asíntotas

    Existe asíntota vertical dada por la recta con ecuación $x=0$, por el resultado del límite a.

    No hay asíntota horizontal.

    Asíntota Oblicua

    i.
    $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{\displaystyle\frac{f(x)}{x}}}=\disp...
...c{1}{x}}{x}}}=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{e^\frac{1}{x}}}=e^0=1$ de donde $m=1$

    ii.
    $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{(f(x)-mx)}}=\displaystyle{\lim_{x\r...
...frac{1}{x}-x}}=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{x(e^\frac{1}{x}-1)}}$

    $= \displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{\displaystyle\frac{e^\frac{1}{x}-1}{\frac{1}{x}}}}$ (forma $\displaystyle\frac{0}{0}$ por lo que puede aplicarse la Regla de L'Hôpital)


    $= \displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{\displaystyle\frac{e^\frac{1}{x}\...
...{-1}{x^2}}}}=
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{e^\frac{1}{x}}}=e^0=1$, de donde $b=1$

    Por tanto, la recta con ecuación $y=x+1$ es una asíntota oblicua.



  7. Cuadro de variación: resumen de lo anterior.


  8. Gráfica:

c. $f(x)=x+\displaystyle\frac{4}{x}$
 

  1. Dominio: $D_{f}:I \! \! R- \{0\}$

  2. Intersección con los ejes

    a.
    eje Y: no hay intersección, pues x debe tomar el valor de cero, pero $0\not\in D_{f}$

    b.
    eje X: $f(x)=0 \Leftrightarrow x +
\displaystyle\frac{4}{x}=0 \Leftrightarrow
\displaystyle\frac{x^2+4}{x}=0$, pero $x^2+4 \neq 0 \; \; \forall
x \in D_{f}$, por lo que no hay intersección con este eje.

  3. Sentido de variación: Estudio de la primera derivada
    a. $f'(x)=1-\displaystyle\frac{4}{x^2}$
    b. $f'(x)=0 \Leftrightarrow
\displaystyle\frac{x^2-4}{x^2}=0 \Leftrightarrow x=2$ ó $x=-2$, estos son los valores críticos de f.
    c.

     

    Como:

    Se tiene que $f'(x)>0$ si $x \in ]-\infty,-2[ \;\cup \;
]2,+\infty[$ $f'(x)<0$ si $x \in ]-2,2[$

    Entonces f es creciente si $x \in ]-\infty,-2[ \;\cup \;
]2,+\infty[$ y f es decreciente si $x \in ]-2,2[$

    Luego, $f(-2)$, es un valor máximo y $f(2)$ es un valor mínimo.

     

  4. Estudio de la segunda derivada:
    a. $f''(x)=\displaystyle\frac{8}{x^3}$
    b.
    $f''(x)\neq 0 \;\; \forall x \in D_{f}$
    c. $f''(x)>0 \Leftrightarrow x^3>0 \Leftrightarrow x>0$, entonces f es cóncava hacia arriba si $x>0$
    d. $f''(x)<0 \Leftrightarrow x^3<0 \Leftrightarrow x<0$; luego, f es cóncava hacia abajo si $x<0$

  5. Estudio de los límites:
    a.
    $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {0^+}}{\left(x+\displaystyle\frac{4}{x}\right)}}=
+\infty$
    b.

     

    $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {0^-}}{\left(x+\displaystyle\frac{4}{x}\right)}}=-\infty$
    c. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{\left(x+\displaystyle\frac{4}{x}\right)}}=+\infty$
    d. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {-\infty}}{\left(x+\displaystyle\frac{4}{x}\right)}}=-\infty$

     

  6. Asíntotas

    De a. y b. del punto anterior se concluye que la recta con ecuación $x=0$ es una asíntota vertical.

    De c. y d. del punto anterior se concluye que no existe asíntota horizontal.

    Asíntota oblicua
    i. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{\displaystyle\frac{f(x)}{x}}}=
\dis...
...infty}}{\left(x+\displaystyle\frac{4}{x}\right)}}\cdot
\displaystyle\frac{1}{x}$

    $=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{\left(1+\displaystyle\frac{4}{x^2}\right)}}=1$ de donde $m=1$

    ii.

     

    $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{f(x)-mx}}=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{x+\displaystyle\frac{4}{x}-x}}$

    $=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{\displaystyle\frac{4}{x}}}=0$ de donde $b = 0$

    Luego, la recta con ecuación $y=x$ es una asíntota oblicua.

     

  7. Cuadro de variación

     

     

  8. Gráfica

c. $f(x)=\displaystyle\frac{x^2}{\sqrt{x^-4}}$
  1. Dominio

    Se necesita: $x^2-4 >0$ lo cual se cumple cuando $x \in ]-\infty,-2[ \;\cup \;
]2,+\infty[$

  2. Intersección con los ejes:

    Eje X: $f(x)=0 \Leftrightarrow x^2=0 \Leftrightarrow x=0$, luego en el punto $(0,0)$ interseca al eje x.

    Como $f(0)=0$ también en $(0,0)$ interseca al eje Y.

  3. Sentido de variación o estudio de la primera derivada

    a.
    $f'(x)=\displaystyle\frac{x(x-\sqrt{8})(x+\sqrt{8})}{(x^2-4)^\frac{3}{2}}$ (¡Compruébelo!)

    Como $(x^2-4)^\frac{3}{2}$ es positivo para $x \in D_{f}$, analizamos únicamente el numerador para determinar $f'(x)>0$ y $f'(x)<0$
     

    Como $f'(x)$ es mayor que cero para $x \in ]8,0[ \;\cup \;
]8,+\infty[$ entonces f es creciente en esos intervalos.

    Como $f'(x)$ es menor que cero para $x \in ]-\infty,-\sqrt{8}[ \;\cup \; ]0, \sqrt{8}[$ entonces f es decreciente en esos intervalos.

    Además en $(-\sqrt{8},f(-\sqrt{8}))$ y $(\sqrt{8},f(\sqrt{8}))$ hay dos valores mínimos relativos.

  4. Estudio de la segunda derivada
    a.
    $f''(x)=\displaystyle\frac{4x^2+32}{(x^2-4)^\frac{5}{2}}$
    b.

     

    $f''(x)\neq 0 \;\; \forall x \in D_{f}$ y $f''(x)>0 \;\;
\forall x
\in D_{f}$ por lo que f siempre es cóncava hacia arriba.

     


  5. Estudio de los límites
    a. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{\displaystyle\frac{x^2}{\sqrt{x^2-4...
...{+\infty}}{\displaystyle\frac{x}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{4}{x^2}}}}}=+\infty$

     

    b. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {-2^-}}{\displaystyle\frac{x^2}{\sqrt{x^2-4}}}}=+\infty$

    $x \rightarrow -2^- \Rightarrow x < -2 \Rightarrow x^2 >4
\Rightarrow x^2-4 >0 \Rightarrow x^2 -4 \rightarrow 0^+$

    $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {2^+}}{\displaystyle\frac{x^2}{\sqrt{x^2-4}}}}=+\infty$

    $x \rightarrow 2^+ \Rightarrow x > 2 \Rightarrow x^2 >4
\Rightarrow x^2-4 >0 \Rightarrow x^2 -4 \rightarrow 0^+$
     

  6. Asíntotas

    Del punto a. anterior se obtiene que no hay asíntota horizontal.

    Del punto b. anterior se obtiene que $x=-2$ y $x=2$ son las ecuaciones de asíntotas verticales.

    Determinemos si existen asíntotas oblicuas:

    1.
    a. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{\displaystyle\frac{f(x)}{x}}}=\disp...
...tarrow {+\infty}}{\displaystyle\frac{x}{x\sqrt{1-\displaystyle\frac{4}{x^2}}}}}$
    $=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{4}{x^2}}}}}=1$ de donde $m=1$
     
    b. $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{(f(x)-mx)}=\lim_{x\rightarrow {+\in...
...\right]}=\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{\frac{x^2-x\sqrt{x^2-4}}{\sqrt{x^2-4}}}}$
    $=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{\left[\frac{x^2-x\sqrt{x^2-4}}{\sq...

      $=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {+\infty}}{\frac{4}{x\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}\;\;\left(1+\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}\right)}}}=0$, de donde $b = 0$.

     

    La recta con ecuación $y=x$ es una asíntota oblicua.

    2.
    a.
    $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {-\infty}}{\displaystyle\frac{f(x)}{x}}}=\disp...
...nfty}}{\displaystyle\frac{x}{\vert x\vert\sqrt{1-\displaystyle\frac{4}{x^2}}}}}$


    $=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {-\infty}}{\displaystyle\frac{x}{-x\sqrt{1-\d...
...splaystyle{\lim_{x\rightarrow {-\infty}}{\frac{-1}{\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}}}=-1$ de donde $m=-1$

    b.
    $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {-\infty}}{(f(x)-mx)}=\lim_{x\rightarrow {-\in...
...\right]}=\lim_{x\rightarrow {-\infty}}{\frac{x^2+x\sqrt{x^2-4}}{\sqrt{x^2-4}}}}$


    $=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {-\infty}}{\left[\frac{x^2+x\sqrt{x^2-4}}{\sq...
...htarrow {-\infty}}{\frac{x^4-x^2(x^2-4)}{\sqrt{x^2-4}\;\;(x^2-x\sqrt{x^2-4})}}}$


    $=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {-\infty}}{\frac{4x^2}{-x\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}\;\;x^2\left(1+\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}\right)}}}$


    $=\displaystyle{\lim_{x\rightarrow {-\infty}}{\frac{-4}{-x\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}\;\;\left(1+\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}\right)}}}=0$, de donde $b = 0$.

    Luego, la recta con ecuación $y=-x$ es otra asíntota oblicua.
  7. Cuadro de variación:

  8. Gráfica


 



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