Semejanza en la Vida Cotidiana

Semejanza de Triángulos

Semejanza en Matemática

Actividad Interactiva

 

En esta sección se analizará el concepto de semejanza de triángulos, con el fin de poder comprender su significado y aplicarlo en la solución de problemas.  Antes de profundizar dicho concepto, se interiorizará solamente el concepto de semejanza.

Para lo que se quiere realizar, es necesario el conocimiento de lo que son lados correspondientes y lo que es proporcionalidad, para ello considere la figura que se muestra abajo en la que los lados correspondientes son respecticamente:

c y c' (lado grande y lado grande)

a y a' (lado pequeño y lado pequeño)

b y b' (lado mediano y lado mediano)

Observe que al realizar la división entre los lados homólogos (correspondientes) el resultado que se obtiene  es 2 (dividiendo 10 entre 5, 8 entre 4 y 6 entre 3), este valor recibe el nombre de razón y cuando la razón es igual en todos y cada uno de los lados correspondientes, se dice que los lados son proporcionales

El concepto de semejanza en la vida cotidiana

Cuando se utiliza el término de semejanza en el lenguaje cotidiano, ¿a qué nos estamos refiriendo?  Será acaso:

  • Un objeto que se parece a otro

  • Objetos de igual tamaño

  • Objetos de igual forma

  • Objetos exactamente iguales

Es difícil poder seleccionar una opción que responda correctamente a la pregunta planteada, ya que de acuerdo al contexto de la conversación, el significado y utilización de la palabra semejanza, podría hacer referencia a objetos que se parecen en tamaño, forma o exactamente iguales, entre otros.

Por ejemplo:

  1. El color del automóvil de Pedro es semejante al color del automóvil de María.

  2. La pelota de ping-pong es semejante a la de fútbol.

  3. La estatura de Marcela es semejante a la de Enrique.

  4. Los gemelos Baltodano Carrillo son tan semejantes que es difícil diferenciarlos.

  5. La llave que usa Sofía, para abrir la puerta de su casa, es semejante a la de su hermano José.

Se podría seguir enunciando ejemplos, que ayuden a comprender el concepto de semejanza.  Note que en los ejemplos mencionados, el significado de semejanza hace referencia a una característica común entre los objetos o personas, tales como:  color, tamaño y forma, entre otros. 

Resumiendo:  el uso del concepto de semejanza en el lenguaje cotidiano se refiera al "parecido", en una o más características, que existe entre dos personas u objetos.

El concepto de semejanza en matemática

El concepto de semejanza en matemática está muy ligado al concepto de proporcionalidad.  En esta ciencia se dice que dos objetos son semejantes si "guardan" una proporción entre ellos.  Veamos algunos ejemplos de la relación existente entre semejanza y proporcionalidad.

  1. Un geógrafo desea determinar la distancia entre dos ciudades, para ello utiliza un mapa.  Se percata que la escala utilizada en el mapa es de 1:5000, es decir, un centímetro en el mapa representa 5000 metros en la realidad.  Luego de medir con una regla la distancia entre las dos ciudades, obtiene que es de 3cm, lo cual representa 15000 metros en la realidad.  Note que el mapa es una representación semejante a una porción del globo terráqueo, de allí que, deba guardar una misma proporción, con el fin de que las medidas que se tomen sobre él sean lo más cercanas a su valor real. 

  2. La construcción de modelos a escala (aviones, barcos y edificios, entre otros) requiere de una buena aplicación de los conceptos de semejanza y proporcionalidad, esto con el fin de que la maqueta sea lo más semejante posible al objeto real, además de guardar una proporcionalidad adecuada, en otras palabras, el tamaño de cada una de sus partes debe estar acorde con el tamaño que el objeto tiene en la realidad.

  3. Dos fotografías de la misma persona, una de tamaño 3x4 pulgadas que luego es ampliada a 6x8 pulgadas.  Ambas son semejantes y tienen una misma proporción, ya que una es la ampliación de la otra tanto a lo ancho como a lo largo y con una misma razón, o sea, las divisiones de sus lados correspondientes son de igual valor.

  4. Dos anillos idénticos, cuyos diámetros son exactamente iguales, guardan la misma proporción y semejanza entre cada una de sus partes (circunferencia, radio, área, diámetro).

El último ejemplo refleja que siempre, dos objetos que son del mismo tamaño y forma se pueden catalogar como semejantes.  Se debe tener cuidado con la afirmación inversa, es decir, objetos de diferente tamaño no son siempre semejantes, todo depende de que guarden o no la misma proporción, tal es el caso de los ejemplos uno, dos y tres.   En otras palabras, para que dos objetos sean semejantes bajo la concepción matemática, no siempre tienen que ser iguales.

Resumiendo:  dos figuras son semejantes si guardan una proporción entre cada una de sus partes respectivas.

Semejanza de triángulos

Ya se ha estudiado el concepto de semejanza, tanto en lenguaje cotidiano como en leguaje matemático.  Se aplicarán ambas definiciones para establecer el concepto de semejanza de triángulos.

Se podría afirmar, con lo que ya se conoce, que dos triángulos son semejantes si poseen una misma forma y sus partes guardan una proporción.

Veamos un ejemplo:

 

 

Mueva los vértices rojos y responda las siguientes preguntas basándose en la figura de la derecha.

Nota: Para volver a la figura inicial presione la tecla R.

  1. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos del triángulo ABC?

  2. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos del triángulo DEF?

  3. ¿Qué relación existe entre ambas medidas?

  4. ¿Cuál es la razón existente entre los lados homólogos, o sea, los lados correspondientes?

  5. ¿Son proporcionales los lados homólogos?

  6. Cree su propia definición de triángulos semejantes y discútala con sus compañeros (as) y profesor (a).

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Definición

Dos triángulos son semejantes si los ángulos homólogos son congruentes y los lados homólogos son proporcionales.

 

Ahora bien, sería muy tedioso estar verificando para cada par de triángulos estas dos condiciones.  Para comprobar si dos triángulos son semejantes existen criterios de semejanza, los cuales ayudan a determinar la semejanza o no de dos triángulos.

 

Importante

Cuando se dice que el triángulo ABC es semejante con el triángulo DEF, se escribe:

DABC ~ DDEF

Es muy importante el orden en que se escriban los vértices de cada triángulo, ya que esto establece los ángulos y los lados homólogos.

En el ejemplo anterior se tiene que:

  • El vértice A es homólogo con el vértice D.

  • El vértice B es homólogo con el vértice E.

  • El vértice C es homólogo con el vértice F.

  • Lado AB es homólogo con lado DE.

  • Lado BC es homólogo con lado EF.

  • Lado AC es homólogo con lado DF.