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Representación de números racionales en la recta numérica.

 

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Recordemos que el conjunto de los números enteros se denota por $\input{Z.eepic}$ y se define de la manera siguiente:

\begin{displaymath}\input{Z.eepic}= \{ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... \}\end{displaymath}

Podemos representar los números enteros como puntos de una recta de la manera siguiente:

El segmento de recta comprendido entre dos números enteros consecutivos se llama "segmento unidad".

De manera similar, recordemos que el conjunto de los números racionales se denota por $\input{Q.eepic}$ y se define de la manera siguiente:

\begin{displaymath}\input{Q.eepic}=\left\{ \frac{a}{b} \;\; / \;\; a \in \input{Z.eepic}, b \in \input{Z.eepic}, b \not= 0 \right\}\end{displaymath}

Debido a que si $a \in \input{Z.eepic}$, $b \in \input{Z.eepic}$, $b > 0$ entonces se cumple que $\displaystyle \frac{a}{-b} = \frac{-a}{b}$; se conviene en representar los números racionales preferentemente por medio de fracciones en las cuales el denominador es un número entero positivo.

Recordemos además que si $a \in \input{Z.eepic}$, $b \in \input{Z.eepic}$, $b > 0$, el número racional $\displaystyle \frac{a}{b}$ se puede considerar como el cociente que se obtiene al dividir $a$ por $b$; en donde $b$ indica el número de partes en que se divide la unidad y $a$ el número de partes que se toman.

De esta manera, si se divide en dos partes iguales cada segmento unidad en la recta numérica, podemos representar los números racionales cuya representación fraccionaria tiene como denominador 2, como se muestra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo

Represente en la recta numérica los siguientes números racionales:

  1. $\displaystyle \frac{3}{2}$
  1. $\displaystyle \frac{7}{2}$
  1. $\displaystyle \frac{-1}{2}$
  1. $\displaystyle \frac{-5}{2}$

Solución:

De igual manera, si se dividen en tres partes iguales cada segmento unidad en la recta, podemos representar los números racionales cuya representación fraccionaria tiene como denominador 3, como se muestra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo

Represente en la recta numérica los siguientes números racionales:

  1. $\displaystyle \frac{4}{3}$
  1. $\displaystyle \frac{8}{3}$
  1. $\displaystyle \frac{-2}{3}$
  1. $\displaystyle \frac{-7}{3}$

Solución:

Generalizando el procedimiento descrito anteriormente se puede representar cualquier número racional en la recta numérica.

Ejercicio

Represente en un recta numérica los siguientes números racionales:

  1. $\displaystyle \frac{5}{2}$
  1. $\displaystyle \frac{7}{3}$
  1. $\displaystyle \frac{-9}{4}$
  1. $\displaystyle \frac{-14}{5}$

Solución

Nota: También se pueden representar los números racionales en la recta numérica, considerando su expansión decimal y ubicándolos en forma aproximada en la recta numérica, como se muestra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo

Represente en una recta numérica los siguientes números racionales.

  1. $\displaystyle \frac{7}{9}$
  1. $\displaystyle \frac{34}{15}$
  1. $\displaystyle \frac{-9}{7}$
  1. $\displaystyle \frac{-17}{5}$

Solución

Utilizando la calculadora se puede notar que:

  1. $\displaystyle \frac{7}{9}=0,\overline{7}$
  2. $\displaystyle \frac{34}{15}=2,2\overline{6}$
  1. $\displaystyle \frac{-9}{7}=-1,\overline{285714}$
  2. $\displaystyle \frac{-17}{5}=-3,4$

De esta manera

Ejercicios

  1. Represente en una recta numérica los siguientes números racionales.


      1. $\displaystyle \frac{2}{3}$
      1. $\displaystyle \frac{8}{5}$
      1. $\displaystyle \frac{-5}{2}$
      1. $\displaystyle \frac{7}{4}$

      1. $\displaystyle \frac{9}{2}$
      1. $\displaystyle \frac{-11}{3}$
      1. $\displaystyle \frac{13}{5}$
      1. $\displaystyle \frac{-7}{4}$
  2. Utilice la calculadora para encontrar la expansión decimal de los siguientes números racionales y represéntelos en una recta numérica.


      1. $\displaystyle \frac{13}{7}$
      1. $\displaystyle \frac{7}{15}$
      1. $\displaystyle \frac{-65}{21}$
      1. $\displaystyle \frac{-85}{13}$


      1. $\displaystyle \frac{16}{9}$
      1. $\displaystyle \frac{77}{27}$
      1. $\displaystyle \frac{-40}{29}$
      1. $\displaystyle \frac{-134}{141}$

Solución

Un segmento comprendido entre dos números enteros consecutivos se llama segmento unidad.

Para representar el número racional $\displaystyle \frac{a}{b}$ en la recta numérica se divide cada segmento unidad en b partes iguales y se toman a de esas partes.

Para representar los números racionales en la recta numérica también se puede considerar su expansión decimal, de esta manera se ubican en la recta de manera aproximada.

 

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